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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:00 Sa 11.10.2008 | | Autor: | ichbinsnun |
| Aufgabe | Sei G eine endliche, abelsche Gruppe der Ordnung n. Sei K ein Körper dessen Charakteristik nicht n teilt. Für jedes [mm] d\in\IN [/mm] welches n teilt sei [mm] \alpha_{d} [/mm] die d-te primitive Einheitswurzel.
Sei L der Zerfällungskörper von [mm] x^{n}-1 [/mm] (also [mm] \alpha_{d}\in [/mm] L).
Sei A eine m [mm] \times [/mm] m Matrix mit Einträgen in K dessen multiplikative Ordnung d ist.
BEH.: Es existiert eine invertierbare m [mm] \times [/mm] m Matrix X mit Einträgen in L, sodass [mm] XAX^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist, dessen sämtliche Einträge [mm] \alpha_{d} [/mm] sind.
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Hallo Leute,
ich arbeite gerade an einem Beweis von Sehgal, der mit der obigen Behauptung argumentiert. Leider habe ich gar keine Ahnung wieso dies gelten sollte. Ich hoffe, ich habe die notwendigen Voraussetzungen genannt. Ich würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Auch wenn es sich lediglich um Vermutungen handelt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 11.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei G eine endliche, abelsche Gruppe der Ordnung n. Sei K
> ein Körper dessen Charakteristik nicht n teilt. Für jedes
> [mm]d\in\IN[/mm] welches n teilt sei [mm]\alpha_{d}[/mm] die d-te primitive
> Einheitswurzel.
> Sei L der Zerfällungskörper von [mm]x^{n}-1[/mm] (also
> [mm]\alpha_{d}\in[/mm] L).
> Sei A eine m [mm]\times[/mm] m Matrix mit Einträgen in K dessen
> multiplikative Ordnung d ist.
>
> BEH.: Es existiert eine invertierbare m [mm]\times[/mm] m Matrix X
> mit Einträgen in L, sodass [mm]XAX^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix
> ist, dessen sämtliche Einträge [mm]\alpha_{d}[/mm] sind.
irgendeine angabe scheint noch zu fehlen - die gruppe wird für die behauptung ja gar nicht benötigt. in diesem setting sollte ja $A = [mm] \left( \begin{array}{cc} a_d & \\ & 1 \end{array} \right)$ [/mm] ein gegenbeispiel sein.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Sa 11.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo andreas
> > Sei G eine endliche, abelsche Gruppe der Ordnung n. Sei K
> > ein Körper dessen Charakteristik nicht n teilt. Für jedes
> > [mm]d\in\IN[/mm] welches n teilt sei [mm]\alpha_{d}[/mm] die d-te primitive
> > Einheitswurzel.
> > Sei L der Zerfällungskörper von [mm]x^{n}-1[/mm] (also
> > [mm]\alpha_{d}\in[/mm] L).
> > Sei A eine m [mm]\times[/mm] m Matrix mit Einträgen in K dessen
> > multiplikative Ordnung d ist.
> >
> > BEH.: Es existiert eine invertierbare m [mm]\times[/mm] m Matrix X
> > mit Einträgen in L, sodass [mm]XAX^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix
> > ist, dessen sämtliche Einträge [mm]\alpha_{d}[/mm] sind.
>
> irgendeine angabe scheint noch zu fehlen - die gruppe wird
> für die behauptung ja gar nicht benötigt.
Das hatte ich mich beim Durchlesen auch gefragt :)
> in diesem setting
> sollte ja [mm]A = \left( \begin{array}{cc} a_d & \\ & 1 \end{array} \right)[/mm]
> ein gegenbeispiel sein.
Ich vermute mal, dass gemeint ist, dass die Diagonaleintraege Potenzen von [mm] $\alpha_d$ [/mm] sein sollen (und die Exponenten zusammen mit $d$ teilerfremd sind). Das laesst sich sehr einfach beweisen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Sa 11.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Sei G eine endliche, abelsche Gruppe der Ordnung n. Sei K
> > > ein Körper dessen Charakteristik nicht n teilt. Für jedes
> > > [mm]d\in\IN[/mm] welches n teilt sei [mm]\alpha_{d}[/mm] die d-te primitive
> > > Einheitswurzel.
> > > Sei L der Zerfällungskörper von [mm]x^{n}-1[/mm] (also
> > > [mm]\alpha_{d}\in[/mm] L).
> > > Sei A eine m [mm]\times[/mm] m Matrix mit Einträgen in K
> dessen
> > > multiplikative Ordnung d ist.
> > >
> > > BEH.: Es existiert eine invertierbare m [mm]\times[/mm] m Matrix X
> > > mit Einträgen in L, sodass [mm]XAX^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix
> > > ist, dessen sämtliche Einträge [mm]\alpha_{d}[/mm] sind.
Ach ja, noch ein Hinweis zur urspruenglichen Aufgabe: die Matrix erfuellt [mm] $X^d [/mm] - E = 0$, womit das Minimalpolynom ein Teiler vom Polynom [mm] $x^d [/mm] - 1$ ist. Das sagt etwas ueber die Eigenwerte und ueber die Diagonalisierbarkeit.
LG Felix
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Sehr gut, damit komme ich prima weiter, vielen Dank für die Hilfe. Der Autor hat leider nur mittels Punkten angedeutet, dass es sich hierbei um eine Diagonalmatrix handelt und nur den ersten Eintrag mit [mm] \alpha_{d} [/mm] gekennzeichnet. Macht schon Sinn, das es sich bei den Einträgen um Potenzen von [mm] \alpha_{d} [/mm] handelt, auch im weiteren Verlauf des Beweises.
Eine Frage hab ich hierzu alllerdings noch. Und zwar soll ich nun Endomorphismen auf die Diagonalmatrix anwenden. Bedeutet das, dass man die Endomorphismen auf die Einträge anwendet?
Schöne Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 12.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sehr gut, damit komme ich prima weiter, vielen Dank für die
> Hilfe. Der Autor hat leider nur mittels Punkten angedeutet,
> dass es sich hierbei um eine Diagonalmatrix handelt und nur
> den ersten Eintrag mit [mm]\alpha_{d}[/mm] gekennzeichnet. Macht
> schon Sinn, das es sich bei den Einträgen um Potenzen von
> [mm]\alpha_{d}[/mm] handelt, auch im weiteren Verlauf des Beweises.
Tja, dann war er vermutlich etwas schlampig.
> Eine Frage hab ich hierzu alllerdings noch. Und zwar soll
> ich nun Endomorphismen auf die Diagonalmatrix anwenden.
> Bedeutet das, dass man die Endomorphismen auf die Einträge
> anwendet?
Endomorphismen wovon? Meinst du Automorphismen vom Zerfaellungskoerper $L$? Ja, die werden dann komponentenweise angewendet. Oder was meinst du genau?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 12.10.2008 | | Autor: | ichbinsnun |
ja genau, super und vielen dank,
anke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mo 20.10.2008 | | Autor: | ichbinsnun |
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