kongruent - ähnlich < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 13.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Zu welcher Diagonalmatrix ist [mm] A=\pmat{0&i&0\\-i&0&0\\0&0&1} \in M_{33}(\IC) [/mm] ähnlich ?
Zu welcher Diagonalmatrix ist [mm] B=\pmat{1&2&0\\2&0&3\\0&3&0} \in M_{33}(\IR) [/mm] kongruent ?
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
die Lösung besagt, dass A ähnlich und B kongruent zu [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1} [/mm] ist.
Wie kommt man am Einfachsten auf die ähnliche Matrix ?
Bei kongruent hatte ich mit dem Jacobi-Verfahren die Matrix [mm] \pmat{1&0&0\\0&-\bruch{1}{4}&0\\0&0&\bruch{4}{9}} [/mm] ermittelt. Ist das auch richtig ?
Danke, Susanne.
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> Zu welcher Diagonalmatrix ist [mm]A=\pmat{0&i&0\\-i&0&0\\0&0&1} \in M_{33}(\IC)[/mm]
> ähnlich ?
> Zu welcher Diagonalmatrix ist [mm]B=\pmat{1&2&0\\2&0&3\\0&3&0} \in M_{33}(\IR)[/mm]
> kongruent ?
> die Lösung besagt, dass A ähnlich und B kongruent zu
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}[/mm] ist.
> Wie kommt man am Einfachsten auf die ähnliche Matrix ?
Hallo,
mir fällt da nichts anderes ein, als daß ich die Eigenwerte berechne und die Dimension der Eigenräume bestimme.
> Bei kongruent hatte ich mit dem Jacobi-Verfahren die
> Matrix [mm]\pmat{1&0&0\\0&-\bruch{1}{4}&0\\0&0&\bruch{4}{9}}[/mm]
> ermittelt. Ist das auch richtig ?
Ich weiß gerade gar nicht, was das Jacobi-Verfahren ist. (ob das peinlich ist?)
Aber falls Du im Zuge dieses Verfahrens auch die Transformationsmatrix errechnet hast, könntest Du ja nachrechnen, ob das Richtige herauskommt.
Falls Du also irgendeine Matrix P auf Lager hast mit P^tBP=Deine Matrix, dann ist Deine Matrix richtig.
Bei Kongruenz ist ja nicht gefordert, daß die Transformationsmatrix orthogonal ist.
Wenn Du den zweiten und dritten Deiner Basisvektoren mit einem passenden Faktor versiehst, und sie dann noch vertauschst, solltest Du auf das Ergebnis Deiner Chefs kommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Do 14.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Hilfe !!
Eigenwerte mit i ermitteln... *stöhn*
Das Jacobi-Verfahren geht so vor:
[mm] \Delta_0=1, \Delta_1=[/mm] Determinante des 1x1 Matrix-Anteils links oben, [mm] \Delta_2=[/mm] Determinante der 2x2 Matrix, [mm] \Delta_3=[/mm] Determinante der 3x3 Matrix usw.
Die dazu kongruente Diagonalmatrix ergibt sich dann aus folgenden Diagonalelementen:[mm] \bruch{\Delta_0}{\Delta_1}, \bruch{\Delta_1}{\Delta_2} [/mm] usw.
Dadurch erhält man schnell eine kongruente Diag.Matrix, aber keine Eigenwerte oder - vektoren und wenn die Matrix zu gross ist, geht das Verfahren auch nicht mehr - für 2 Punkte in der Klausur 
Danke und liebe Gruesse, Susanne.
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> Eigenwerte mit i ermitteln... *stöhn*
Hallo,
das ist aber doch mehr ein psychologisches als ein rechentechnisches Problem.
Die Matrix, die Du hattst, war wirklich freudlich - so nett wie die Leute Deiner Bildungsstätte.
>
> Das Jacobi-Verfahren geht so vor:
> [mm]\Delta_0=1, \Delta_1=[/mm] Determinante des 1x1 Matrix-Anteils
> links oben, [mm]\Delta_2=[/mm] Determinante der 2x2 Matrix,
> [mm]\Delta_3=[/mm] Determinante der 3x3 Matrix usw.
> Die dazu kongruente Diagonalmatrix ergibt sich dann aus
> folgenden Diagonalelementen:[mm] \bruch{\Delta_0}{\Delta_1}, \bruch{\Delta_1}{\Delta_2}[/mm]
> usw.
> Dadurch erhält man schnell eine kongruente Diag.Matrix,
> aber keine Eigenwerte oder - vektoren und wenn die Matrix
> zu gross ist, geht das Verfahren auch nicht mehr - für 2
> Punkte in der Klausur
Ich hab' da echt eine Bildungslücke. ich kenne das Verfahren nicht, und ich durchschaue auch nicht auf einne Blick, warum es funktioniert. Vielleicht, wenn ich mal Zeit habe...
Für zwei Klausurpunkte wirst Du keine große Matrix bewältigen müssen, und wenn man diese Punkte durchs Berechnen von kl. Determinanten und ein bißchen Dividieren bekommen kann, ist das doch ein Angebot zum Zugreifen. Ein Schnäppchen.
Gruß v. Angela
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