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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 21.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gesucht sind Real- und Imaginärteil (x+iy):
z = [mm] \wurzel[3]{i} [/mm] |
Hallo Zusammen,
die Aufgabe habe ich über die Polarkoordinaten schon gelöst. Es kommt:
[mm] z_0 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = -i
heraus. Jedoch wollte ich diese noch über Koeffizientenvergleich in dieser Form lösen:
z³ = i
(x+iy³) = i
(x²+2xyi+i²y²)(x+iy) = i
(x²-y²+2xyi)(x+iy) = i
x³+x²yi-y²x-y³i+2x²yi+2xy²i² = i
(x³-y³-2xy²)+(x²y-y³+2x²y)i = 0*1+1*i
Damit die linke Seite gleich der rechten Seite entspricht, muss der Real- und Imaginärteil gleich sein, also:
1: x³-y³-2xy² = 0
2: x²y-y³+2x²y = 1
Irgendwie komme ich damit, aber nicht auf die obengenannte Lösung, es müssten doch drei Gleichungen mit drei Unbekannten sein? Wie würde es weitergehen?
Gruß
itse
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Hallo itse!
Du hast hier den Term [mm] $(x+i*y)^3$ [/mm] falsch ausmultipliziert. Gemäß der Formel
[mm] $$(a+b)^3 [/mm] \ = \ [mm] a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3$$
[/mm]
erhalte ich:
[mm] $$(x+i*y)^3 [/mm] \ = \ [mm] x^3+3*x^2*i*y+3*x*i^2*y^2+i^3*y^3 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Di 21.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Roadrunner,
> Du hast hier den Term [mm](x+i*y)^3[/mm] falsch ausmultipliziert.
> Gemäß der Formel
> [mm](a+b)^3 \ = \ a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3[/mm]
> erhalte ich:
> [mm](x+i*y)^3 \ = \ x^3+3*x^2*i*y+3*x*i^2*y^2+i^3*y^3 \ = \ ...[/mm]
= (x³-3xy²)*1 + (3x²y-y³)i = 0*1 + 1*i
1: x³-3xy² = 0
2: 3x²y-y³ = 1 -> x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1+y³}{3y}} [/mm] in 1:
[mm] \left( +\wurzel{\bruch{1+y³}{3y}} \right)^3 [/mm] - 3 [mm] \left( +\wurzel{\bruch{1+y³}{3y}} \right) [/mm] y² = 0
[mm] \bruch{(1+y³) \wurzel{1+y³}}{3y \wurzel{3y}} [/mm] - [mm] \bruch{3 \wurzel{1+y³}}{\wurzel{3y}} [/mm] y² = 0
[mm] \bruch{(1+y³) \wurzel{1+y³} - 9y³ \wurzel{1+y³}}{3y \wurzel{3y}} [/mm] = 0
Damit der Bruch linke Seite Null wird, muss der Zähler Null sein:
(1+y³) [mm] \wurzel{1+y³} [/mm] - 9y³ [mm] \wurzel{1+y³} [/mm] = 0
(1+y³) [mm] \wurzel{1+y³} [/mm] = 9y³ [mm] \wurzel{1+y³} [/mm] | ()²
[mm] (1+2y³+y^6)(1+y³) [/mm] = [mm] 81y^6(1+y³)
[/mm]
[mm] 1+3y³+3y^6+y^9 [/mm] = [mm] 81y^6+81^9
[/mm]
[mm] -80y^9-78y^6+3y³+1 [/mm] = 0 | substitution c = y³
-80c³-78c²+3c+1 = 0
durch Raten [mm] c_1 [/mm] = -1, dann Polynomdivion dabei erhalte ich dann: -80c²+2c+1 Rest 0
Somit ergibt sich für diese quadratische Gleichung folgende Lösungen [mm] c_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{10} [/mm] und [mm] c_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Rücksubstitution:
-1 = y³ -> [mm] y_1 [/mm] = -1
[mm] -\bruch{1}{10} [/mm] -> [mm] y_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel[3]{10}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{8} [/mm] = y³ -> [mm] y_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Für [mm] y_1 [/mm] ergibt sich:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1+(-1)³}{3(-1)}} [/mm] = 0
Für [mm] y_2 [/mm] ergibt sich keine reelle Lösung für x, somit bleibt noch [mm] y_3 [/mm] übrig:
x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1+(\bruch{1}{2})³}{3(\bruch{1}{2})}} [/mm] -> [mm] x_{23} [/mm] = [mm] \pm \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Somit ergibt sich für z folgende Lösungen:
[mm] z_0 [/mm] = 0 [mm] \cdot{} [/mm] 1 + (-1) [mm] \cdot{} [/mm] i = -i
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}i
[/mm]
Müsste doch soweit richtig sein? Zumindest erhalte ich die richtigen Lösungen. Ziemlich aufwendig im Vergleich zu dem Weg über die Polarkoordinaten.
Gruß
itse
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Hallo itse,
sieht gut aus. Ja, das ist aufwändiger als über Polarkoordinaten bzw. Moivre-Formel. Versuch mal eine fünfte Wurzel zu ziehen...
Grüße
reverend
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