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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 19.08.2007 | | Autor: | Excel |
Ich hab da wieder ein Problem. Ich habe leider keinen lösungsansatz geschafft.
Bitte um Hilfe.
| Aufgabe | Eine Rinne wird aus 15cm breiten Holzbrettern der Länge 8m gefertigt.
a) Berechnen Sie das Volumen der Rinne, wenn das Bodenbrett mit der Setenwand einen Winkel alpha mit 90 ° <=a<=180° einschliesst. Geben Sie das Volumen für alpha= 90°, 120°, 150° an.
b) berechnen Sie den Winkel alpha, für den das Volumen der Rinne maximal ist.
c) Zeigen Sie, dass das Volumen maximal ist, wenn der Querschnitt der Rinne maximal ist. |
Bin echt schon am verzweifeln bei dieser aufgabe.
Vielen Dank im Vorraus
Viele Grüße
Excel
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Hallo
einige Hinweise zu a)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dir sind die drei Bretter bekannt,
[mm] \overline{CA}=\overline{AB}=\overline{BD}=15cm, [/mm]
für [mm] 90^{0} [/mm] bilden die drei Bretter ein Quadrat mit der Seitenlänge 15cm, berechne die Fläche, dann mal 8m, beachte die Einheiten,
weiterhin bilden die Bretter ein Trapez für den Fall [mm] 120^{0} [/mm] und [mm] 150^{0}
[/mm]
[mm] A=\bruch{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}*\overline{AE}
[/mm]
berechne die [mm] \overline{CE} [/mm] und [mm] \overline{AE}, [/mm] verwende die Beziehungen im rechtwinkligem Dreieck CAE, Du kennst eine Seite und den Winkel [mm] CAE=30^{0},
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 19.08.2007 | | Autor: | Excel |
Ich hab die Frage "a" gelöst bekommen. Aber mein problem la bei den anderen 2 Aufgaben. Ich komm da nicht drauf.
Gruß Excel
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Hallo Excel,
Das Volumen der Rinne ist ja das Produkt aus Länge der Rinne und dem Querschnitt (Trapezfläche), der vom Winkel abhängt.
Man könnte also zuerst einen Ausdruck für die Trapezfläche aufstellen, und diesen dann nach dem Winkel ableiten. Ist ein Maximum für die Fläche vorhanden, wird auch das Volumen maximal.
Ich hab den Dreieckswinkel [mm] \beta [/mm] definiert als [mm] \beta [/mm] = 90° - [mm] \alpha.
[/mm]
;die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks a und h (Trapezhöhe) als
a = 15 cm * [mm] sin\beta [/mm] h = 15 cm * cos [mm] \beta [/mm]
.
Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann
[mm] A_{T} [/mm] = 15 cm *h + a*h
= (15 [mm] cm)^2 [/mm] * [mm] cos\beta [/mm] + (15 [mm] cm)^2 [/mm] * [mm] sin\beta [/mm] * [mm] cos\beta [/mm]
= (15 [mm] cm)^2 [/mm] * [mm] (cos\beta [/mm] + 1/2 * [mm] sin(2\beta [/mm] ))
Das musst Du jetzt nach [mm] \beta [/mm] ableiten.
[mm] A_{T}' [/mm] = 225 [mm] cm^2 [/mm] * (- [mm] sin\beta +cos(2\beta [/mm] )) = 0
[mm] sin\beta [/mm] = [mm] cos(2\beta [/mm] )
[mm] sin\beta [/mm] = 1 - [mm] 2*sin^2\beta [/mm]
[mm] sin^2\beta [/mm] + 1/2 [mm] sin\beta [/mm] - 1/2 = 0
Für die quadratische Gleichung bekommst Du 2 Lösungen:
[mm] \beta_{1} [/mm] = - 90° [mm] \beta_{2} [/mm] = 30°
[mm] \alpha_{1} [/mm] = 0° [mm] \alpha_{2} [/mm] = 120°
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 19.08.2007 | | Autor: | Excel |
Danke für deine Hilfe. hab es jetzt verstanden.
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