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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexe zahl z
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komplexe zahl z: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mo 02.04.2007
Autor: Leucram

Aufgabe
gegeben ist:  z=1+i* [mm] \wurzel{3} [/mm]
aufgabe 1.) : finde z^12
aufgabe 2.) : alle [mm] z^n [/mm] ( n [mm] \varepsilon \IZ [/mm] ) angeben für die [mm] z^n [/mm] reel ist

zu 1.)
korrekter lösungsversuch?

-ich würde mit e-ansatz beginnen
[mm] z=a+bi=r*e^{i*\delta} [/mm] = [mm] r*(cos(\delta) [/mm] + i [mm] sin(\delta)) [/mm]
[mm] a=r*cos(\delta) [/mm]
[mm] b=r*sin(\delta) [/mm]
[mm] \delta [/mm] = arctan( [mm] \wurzel{3} [/mm] / 1 ) = [mm] \pi [/mm] / 3

-aus pythagoras  r= [mm] \wurzel{a²+b²} [/mm] = 2

--> [mm] z=2*e^{i*\delta} [/mm]
--> [mm] z=2*e^{i*\pi / 3} [/mm]
--> [mm] z^{12}=(2*e^{i*(\pi / 3)})^{12} [/mm]

da würd ich aufhören weiter zu vereinfachen

zu 2.) da weis ich nicht, wie das gemeint ist vielleicht kann mir da einer helfen ;)

viele grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
komplexe zahl z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Mo 02.04.2007
Autor: ullim

Hi,

zu a)

Ich würde noch nicht aufhören, sondern wie folgt weiter rechnen

[mm] z^{12}=2^{12}*e^{i4\pi}=4096 [/mm] weil [mm] cos(4\pi)=1 [/mm] und [mm] sin(4\pi)=0 [/mm] gilt.


zu b)

Du hast ja schon z berechnet

[mm] z=2*e^{3i\pi} [/mm] also ist

[mm] z^n=2^n*e^{i3n\pi}=2^n(cos(3n\pi)+i*sin(3n\pi)) [/mm]

[mm] z^n [/mm] ist reell, wenn [mm] sin(3n\pi)=0 [/mm] gilt.

Dis Sinusfunktion ist aber immer Null bei ganzzahligem Vielfachen von [mm] \pi [/mm]

mfg ullim





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