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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | jugliema |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] (z-a)^n [/mm] = b mit z,a,b [mm] x\in\IC, x\in\IN [/mm] für koplexe Zahlen a,b mit b = [mm] r*e^i^\varphi [/mm] von den Zahlen
[mm] z_0 [/mm] = a+ [mm] \wurzel[n]{r}*e^i^\bruch{\varphi }{n}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = a+ [mm] \wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^1^*^\bruch{2*\Pi}{n} [/mm] )
[mm] z_2 [/mm] = a+ [mm] \wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^2^*^\bruch{2*\Pi}{n} [/mm] )
.
.
.
[mm] z_n-2 [/mm] = a+ [mm] \wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^\lbrack^ n^-^2^\rbrack^*^\bruch{2*\Pi}{n} [/mm] )
[mm] z_n-1 [/mm] = a+ [mm] \wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^\lbrack^ n^-^1^\rbrack^*^\bruch{2*\Pi}{n} [/mm] )
gelöst wird.
Begründen Sie, dass diese n Zahlen alle Lösungen der Gleichung sind. |
Hallo,
kann mir jemand eine Hilfestellung zu dieser Aufgabe geben. Habe keinen Ahnung wie ich da rangehen soll bzw. wie ich das Begründen soll.
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
Bin echt für jeden Tipp dankbar.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm](z-a)^n[/mm] = b mit z,a,b
> [mm]x\in\IC, x\in\IN[/mm] für koplexe Zahlen a,b mit b =
> [mm]r*e^i^\varphi[/mm] von den Zahlen
>
> [mm]z_0[/mm] = a+ [mm]\wurzel[n]{r}*e^i^\bruch{\varphi }{n}[/mm]
> [mm]z_1[/mm] = a+
> [mm]\wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^1^*^\bruch{2*\Pi}{n}[/mm]
> )
> [mm]z_2[/mm] = a+ [mm]\wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^2^*^\bruch{2*\Pi}{n}[/mm]
> )
> .
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> .
> [mm]z_n-2[/mm] = a+ [mm]\wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^\lbrack^ n^-^2^\rbrack^*^\bruch{2*\Pi}{n}[/mm]
> )
> [mm]z_n-1[/mm] = a+ [mm]\wurzel[n]{r}*e^i(^ \bruch{\varphi }{n}^+^\lbrack^ n^-^1^\rbrack^*^\bruch{2*\Pi}{n}[/mm]
> )
> gelöst wird.
> Begründen Sie, dass diese n Zahlen alle Lösungen der
> Gleichung sind.
> Hallo,
>
> kann mir jemand eine Hilfestellung zu dieser Aufgabe geben.
> Habe keinen Ahnung wie ich da rangehen soll bzw. wie ich
> das Begründen soll.
Naja: Du hast die Gleichung gegeben, und du hast die Lösungen gegeben. Wie würdest du bei der Gleichung
2x+3 = 5
überprüfen, ob x=1 eine Lösung ist? Du würdest es einfach einsetzen. Genauso ist es bei deiner Aufgabe: Finde einen allgemeinen Ausdruck, so dass du alle [mm] z_{k}'s [/mm] mit einem Aufwasch erledigen kannst (Die angegebenen Lösungen haben ja immer dieselbe Struktur) - und setze diesen Ausdruck dann in den Term
[mm] (z-a)^{n}
[/mm]
ein, und schaue, ob b rauskommt.
Du wirst noch verwenden müssen, dass [mm] $e^{i*2*\pi} [/mm] = 1.$
Grüße,
Stefan
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