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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Berechne den realteil, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl
[mm] \bruch{2}{1-3i} [/mm] |
Hallo,
ich wollte eigentlich nur fragen ob jemand eine gute Literatur oder einen Link aus dem Interent kennt, wo solche Berechnungen, leicht verständlich erklärt werden.
Leider habe ich nichts gefunden, was mir zu oben genannter und vielen anderen Aufgabe ein gute Hilfe ist.
vielen Dank im Voraus
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> Berechne den realteil, Imaginärteil und Betrag der
> komplexen Zahl
>
> [mm]\bruch{2}{1-3i}[/mm]
Hallo,
der Trick: erweitere mit 1+3i.
Allgemein: vielleicht ist ![[]](/images/popup.gif) das hier was für Dich.
Ich hab's eben erst entdeckt, sieht aber ganz gut aus auf den ersten Blick.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank, dein link sieht wirklich vielversprechend aus.
viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den realteil, Imaginärteil und Betrag der
> komplexen Zahl
>
> [mm]\bruch{2}{1-3i}[/mm]
> Hallo,
>
> ich wollte eigentlich nur fragen ob jemand eine gute
> Literatur oder einen Link aus dem Interent kennt, wo solche
> Berechnungen, leicht verständlich erklärt werden.
> Leider habe ich nichts gefunden, was mir zu oben genannter
> und vielen anderen Aufgabe ein gute Hilfe ist.
wenn man gar keine Idee hat, kann man folgenden Ansatz machen:
Du setzt nun [mm] $z:=\frac{2}{1-3i}$. [/mm] Dann [mm] $a:=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $b:=\text{Im}(z)$. [/mm] Es reicht, $a$ und $b$ zu berechnen (daraus erhältst Du dann $|z|$ mit [mm] $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$). [/mm] Zu beachten ist, dass $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] sein müssen und dann $z=a+b [mm] \cdot [/mm] i$ gilt.
Nun kannst Du auch die Aufgabe lösen, wenn Du nicht auf die Idee kommst, mit $1+3i$ zu erweitern (diese Idee liegt übrigens wegen der dritten bin. Formel nahe).
Denn:
[mm] $\frac{2}{1-3i}=a+bi$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\black{2}=(a+bi)(1-3i)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\black{2}=a+bi-a3i-bi3i$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\black{2}=a+bi-3ai-3b\underbrace{i^2}_{=-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\black{2}=(a+3b)+(b-3a)i$.
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] ($\star$) $\black{0+0i}=\underbrace{(a+3b-2)+(b-3a)i}_{=:w}$.
[/mm]
Folglich müssen die beiden Gleichungen:
(I) $a+3b-2=0$
und
(II) $b-3a=0$
erfüllt sein.
(Linkerhand steht bei [mm] ($\star$) [/mm] die komplexe $0$, und rechterhand bei [mm] ($\star$) [/mm] müssen folglich der Realteil und der Imaginärteil, also jeweils von $w$, dann beide $=0$ sein. [mm] $\text{Re}(w)=a+3b-2$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(w)=b-3a$ [/mm] liest man aber wegen $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] sofort ab.)
Und das ist ein Gleichungssystem in den zwei Variablen $a$ und $b$, welches Du sicher lösen kannst.
Du siehst allerdings:
Dieser Weg ist "gehbar", allerdings ist der Trick, mit $1+3i$ zu erweitern, viel einfacher und liefert (ich habe mal im Kopf die Zwischenrechnungen gemacht):
[mm] $\frac{2}{1-3i}=\frac{2}{10}+\frac{6}{10}i$.
[/mm]
Hier erkennt man sofort:
[mm] $a=\frac{1}{5}$ [/mm] und [mm] $b=\frac{3}{5}$.
[/mm]
Wir testen mal (I) für diese Werte:
[mm] $a+3b-2=\frac{1}{5}+\frac{9}{5}-2=\frac{10}{5}-2=0$, [/mm] (I) ist also erfüllt.
Wir testen mal (II) für diese Werte:
[mm] $b-3a=\frac{3}{5}-3*\frac{1}{5}=0$ [/mm] ist offensichtlich auch erfüllt. Also der Ansatz:
$z=a+bi$ mit $a,b [mm] \in \IR$, [/mm] welches hier dann auch zwei Gleichungen für die Variablen $a,b$ liefert, liefert mit Sicherheit das gleiche Ergebnis (nur irgendwie viel zu umständlich).
Nichtsdestotrotz sollte man diesen Ansatz wenigstens dann im Hinterkopf haben, wenn man keine "Vereinfachungen" erkennt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
vielen Dank, dass werde ich gleich mal nachrechnen, und mal schauen ob ich es auch bei anderen Beispielen hinbekomme.
viele Grüße
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