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| Aufgabe 1 | 1) Gegeben Seien [mm] z_{1}=i [/mm] und [mm] z_{2}=2-4i
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] und [mm] \vmat{z_{1}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | 2) Lösen Sie die folgende Gleichung und stellen Sie die Lösungen in Exponentialforn und in der Gestalt z=x+ iy dar! z³=8 i |
Hallo,
ja ich glaube, dass die Aufgaben sehr einfach eigentlich sind, aber ich komme mit den komplexen Zahlen generell nicht so gut klar.
zu 1)
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{i}{-2-4i} [/mm] und da hört es bei mir schon auf, da ich keine Ahnung habe, wie ich das vereinfach kann. Also das hat auch eigentlich nichts mit den komplexen Zahlen zu tun, sondern ist eher eine große Lücke in meinem mathematischen Allgemeinwissen. Erweitern bringt nichts, ich kann maximal i ausklammern und komme auf [mm] \bruch{1}{-2/i -4} [/mm] was jetzt aber auch nicht spektakulär ist. Als Lösung soll -1/5 - 1/10 i rauskommen.
[mm] \vmat{z_{1}} [/mm] = 1 komme ich zwar auf die richtige Lösung, bin mir aber nicht sicher, ob meine Überlegung dazu korrekt ist. wäre denn [mm] \vmat{z_{2}} [/mm] = 4? Also ich denke mir einfach dass der "quadrierte Betrag" von [mm] \wurzel{-1} [/mm] = -1 und das Minus durch den Betrag "wegfällt" - wurzelziehen ergibt dann 1.
zu 2)
Ich verstehe hier gar nich so genau, was zu tun ist. Ich hätte da die Formel [mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{{r}}*e^{i* \bruch{f + 2 \pi *k}{n}} [/mm] (mit f für den Winkel) . Draus wäre r=2 (dritte Wurzel aus 8), aber f kann ich ja nicht ausrechnen weil ich dann durch 0 teilen müsste. Ich denke, ich habe verstanden, dass n=3 ist und ich für k=1,2 oder 3 einsetzen muss. Aber ich komme eben mit dem Winkel nicht weiter.
Ok, danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Gegeben Seien [mm]z_{1}=i[/mm] und [mm]z_{2}=2-4i[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm] und [mm]\vmat{z_{1}}[/mm]
> Hallo,
> ja ich glaube, dass die Aufgabe sehr einfach eigentlich
> ist, aber ich komme mit den komplexen Zahlen generell nicht
> so gut klar.
Das ist mE völlig normal: Wer kann sich diese denn schon gut vorstellen?!
> [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm] = [mm]\bruch{i}{-2-4i}[/mm] und da hört es bei
> mir schon auf, da ich keine Ahnung habe, wie ich das
> vereinfach kann. Also das hat auch eigentlich nichts mit
> den komplexen Zahlen zu tun, sondern ist eher eine große
> Lücke in meinem mathematischen Allgemeinwissen. Erweitern
> bringt nichts, ich kann maximal i ausklammern und komme auf
> [mm]\bruch{1}{-2/i -4}[/mm] was jetzt aber auch nicht spektakulär
> ist. Als Lösung soll -1/5 - 1/10 i rauskommen.
Es gibt bei den komplexen Zahlen, wo ein "i" im Nenner steht immer eine Möglichkeit, das loszuwerden: Erweiter den Bruch mal mit dem konjugiert Komplexen! (Das hört sich vornehm an, das konjugiert Komplexe einer komplexen Zahl $a+bi$ ist gleich $a-bi$
Wenn du das jetzt durchrechnest, erhälst du:
[mm] $(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2\underbrace{=}_{\text{mit }i^2=-1}a^2+b^2$
[/mm]
Und schon steht dort etwas reelles.
Jetz kannst du deinen Bruch, nachdem du auch den Zähler mit dem konjugiert-Komplexen multipliziert hast, kannst du die Zahl wieder in den Realteil und Imaginärteil "aufspalten", also in der Form $a+ib$ schreiben, und dann sollte dein Ergebnis dabei rauskommen.
Es lohnt sich, sich den "Trick" zu "merken", denn nach so etwas ist oft gefragt.
> [mm]\vmat{z_{1}}[/mm] = 1 komme ich zwar auf die richtige Lösung,
> bin mir aber nicht sicher, ob meine Überlegung dazu korrekt
> ist.
wäre denn [mm]\vmat{z_{2}}[/mm] = 4?
Nein.
>Also ich denke mir einfach
> dass der "quadrierte Betrag" von [mm]\wurzel{-1}[/mm] = -1 und das
> Minus durch den Betrag "wegfällt" - wurzelziehen ergibt
> dann 1.
Das ist so leider nicht richtig.
Nehmen wir uns mal deine komplexe Zahl $2-4i$ her. Der Realteil ist 2, der Imaginärteil ist -4. Jetzt ist der Betrag einer komplexen Zahl als [mm] $\sqrt{Re^2+Im^2}$ [/mm] definert, wobei Re der Realteil und Im der Imaginärteil ist. Was kommt also raus? (Das kannst du dir auch am besten in der Gaußschen Zahlenebne vorstellen: Da stellen ja die Imaginären Zahlen einen Vektor dar, wobei die "Komponenten" deines Vektors ja (2,-4) wären. Und wie berechnet man die "Länge" eines Vektors, die ja deinem Betrag entspricht?!
> Ok, danke für eure Hilfe!
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
> 1) Gegeben Seien [mm]z_{1}=i[/mm] und [mm]z_{2}=2-4i[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm] und [mm]\vmat{z_{1}}[/mm]
> 2) Lösen Sie die folgende Gleichung und stellen Sie die
> Lösungen in Exponentialforn und in der Gestalt z=x+ iy dar!
> z³=8 i
Hi,
jetzt auch eine Antwort zur zweiten Aufgabe:
> zu 2)
> Ich verstehe hier gar nich so genau, was zu tun ist. Ich
> hätte da die Formel [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{{r}}*e^{i* \bruch{f + 2 \pi *k}{n}}[/mm]
> (mit f für den Winkel) . Draus wäre r=2 (dritte Wurzel aus
> 8), aber f kann ich ja nicht ausrechnen weil ich dann durch
> 0 teilen müsste.
Warum müsstest du durch Null teilen? Und: der Winkel f, der ist nicht Null. Wäre er Null, so hättest du ja eine rein reelle Zahl. Der Winkel muss vielmehr [mm] $\pi/2$ [/mm] sein, da du ja eine rein imaginäre Zahl hast, und da ist dann der Winkel in der komplexen Zahlenebene zwischen der x- und der y-Achse [mm] $\pi/2$ [/mm] bzw $90°$·
> Ich denke, ich habe verstanden, dass n=3
> ist
Genau.
>und ich für k=1,2 oder 3 einsetzen muss.
Nein. 0,1,2 musst du einsetzeen, denn wenn du k=3 einsetzt, bist du wieder bei deiner ersten Lösung...also ja, du kannst dann 1,2,3 einstezen, aber in der Literatur findet man meist, dass man k=0,1,2 einstezet...
Aber ich komme
> eben mit dem Winkel nicht weiter.
> Ok, danke für eure Hilfe!
LG
Kroni
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