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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexe Zahl mit Betrag
komplexe Zahl mit Betrag < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Zahl mit Betrag: Bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Sa 12.11.2005
Autor: nebben

Hallo

Ich soll die komplexe Zahl in der Form a+bi bestimmen.

Wie fängt man bitte an zu rechnen bei:

|8-6i|

Also wie forme ich die Betragstriche um?

gruß nebben
        
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Definition Betrag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Sa 12.11.2005
Autor: Loddar

Hallo nebben!


Der Betrag einer komplexen Zahl $z \ = \ a+b*i$ ist definiert als: $|z| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2 \ }$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 So 13.11.2005
Autor: nebben

Hallo

Das i fällt da weg, oder?

|8-6i|  = [mm] \wurzel{64-36}=\wurzel{28}=2\wurzel{7} [/mm]

ok?

Wie müsste man  [mm] |\bruch{a+bi}{a+bi}| [/mm] umschreiben?


gruß
Bezug
                        
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Klammern setzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 So 13.11.2005
Autor: Loddar

Hallo nebben!


> Das i fällt da weg, oder?

[ok] Genau, der Betrag einer komplexen Zahl ist eine reelle Zahl.

  
> |8-6i|  = [mm]\wurzel{64-36}=\wurzel{28}=2\wurzel{7}[/mm]

[notok] Hier musst Du die Klammern richtig setzen:

[mm]|8-6i| \ = \ \wurzel{8^2 + \red{(}-6\red{)}^2} \ = \ \wurzel{64 \ \red{+} \ 36} \ = \ \wurzel{100} \ = \ 10[/mm]


> Wie müsste man  [mm]|\bruch{a+bi}{a+bi}|[/mm] umschreiben?

[aeh] In der Konstruktion kürzt sich das doch raus zu $|1| \ = \ 1$ .

Ansonsten gilt für Quotienten: erweitern mit dem Konjugierten des Nenners!


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 So 13.11.2005
Autor: nebben

bei dem betrag vom bruch problem handelt es sich um diese Aufgabe:

Wenn

[mm] |\bruch{1327-48576i}{48576+1327i}|=\bruch{|1327-48576i|}{|48576+1327i|}= [/mm]

dann ergibt sich:

[mm] \bruch{\wurzel{1327^2+(-48576)^2}}{\wurzel{48576^2+1327^2}}= \bruch{1809505}{1809505}=1 [/mm]


Und die Aufgabe mit den Potenzen:

[mm] \bruch{(1-i)^n}{(1+i)^n} [/mm]  =   [mm] \left(\bruch{1-i}{1+i}\right)^n [/mm] = [mm] \left(\bruch{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\right)^n= \left(\bruch{(1+1)+(-1+(-1))i}{2}\right)^n= \left(\bruch{2-2i}{2}\right)^n= (1-i)^n [/mm]


Ok?

gruß nebben


Bezug
                                        
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 13.11.2005
Autor: Loddar

Hallo nebben!


> [mm]|\bruch{1327-48576i}{48576+1327i}|=\bruch{|1327-48576i|}{|48576+1327i|}=[/mm] [mm]\bruch{\wurzel{1327^2+(-48576)^2}}{\wurzel{48576^2+1327^2}}= \bruch{1809505}{1809505}=1[/mm]

[ok]


> Und die Aufgabe mit den Potenzen:
>  
> [mm]\bruch{(1-i)^n}{(1+i)^n}[/mm]  =   [mm]\left(\bruch{1-i}{1+i}\right)^n[/mm] = [mm]\left(\bruch{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\right)^n= \left(\bruch{(1+1)+(-1+(-1))i}{2}\right)^n= \left(\bruch{2-2i}{2}\right)^n= (1-i)^n[/mm]

[notok] Im Zähler erhalte ich für $(1-i)*(1-i) \ = \ [mm] (1-i)^2 [/mm] \ = \ 1 - 2i-1 \ = \ -2i$


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 13.11.2005
Autor: nebben

Hallo, Danke

Noch eine Frage zur Binomischen Formel

Die allg. binomische Formel lautet doch: [mm] (a-b)^2= a^2 [/mm] -2ab + [mm] b^2 [/mm]

Wieso hast du bei der Aufgabe [mm] (1-i)^2=(1 [/mm] - 2i - 1)  und nicht (1-2i+1) gerechnet?

gruß nebben



Bezug
                                                        
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: i² = -1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 13.11.2005
Autor: Loddar

Hallo nebben!


[mm] $(1-i)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2 [/mm] - 2*1*i + \ [mm] \red{i^2} [/mm] \ = \ 1 - 2i + \ [mm] (\red{-1}) [/mm] \ = \ 1 - 2i -1 \ = \ -2i$


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 13.11.2005
Autor: nebben

Hallo Loddar

Danke. Jetzt ist alles klar

gruß nebben
Bezug
        
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: andere komplexe Zahlen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 13.11.2005
Autor: nebben

Hallo

Kann sich das jemand mal bitte anschauen:

[mm] \bruch{1}{1+i}=\bruch{1(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\bruch{1-i}{1+1}=\bruch{1-i}{2} [/mm]

[mm] \bruch{2+i}{2-i}=\bruch{(2+i)(2+1)}{(2-i)(2+i)}=\bruch{3+4i}{5} [/mm]

[mm] \bruch{3+4i}{1+2i}=\bruch{(3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\bruch{3+8+(4-6)i}{1+4}=\bruch{11-2i}{5} [/mm]

[mm] \bruch{(1-i)^n}{(1+i)^n}=\bruch{(1-i)^n (1-i)^n}{(1-i)^n (1-i)^n}=\bruch{(1-1+(-1-1)i)^{n+n}}{(1+1)^{n+n}}=-\bruch{2i^{2n}}{2^{2n}}= [/mm] 0-i

Habe ich das richtig gemacht?

Gruß nebben


Bezug
                
Bezug
komplexe Zahl mit Betrag: Korrektur: Potenzgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 So 13.11.2005
Autor: Loddar

Hallo nebben!


> [mm]\bruch{1}{1+i}=\bruch{1(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\bruch{1-i}{1+1}=\bruch{1-i}{2}[/mm]

[ok]



> [mm]\bruch{2+i}{2-i}=\bruch{(2+i)(2+1)}{(2-i)(2+i)}=\bruch{3+4i}{5}[/mm]

[ok]



> [mm]\bruch{3+4i}{1+2i}=\bruch{(3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\bruch{3+8+(4-6)i}{1+4}=\bruch{11-2i}{5}[/mm]

[ok]



> [mm]\bruch{(1-i)^n}{(1+i)^n}=\bruch{(1-i)^n (1-i)^n}{(1-i)^n (1-i)^n}=\bruch{(1-1+(-1-1)i)^{n+n}}{(1+1)^{n+n}}=-\bruch{2i^{2n}}{2^{2n}}=[/mm] 0-i

[notok] Hier wendest Du am Ende die MBPotenzgesetze falsch an.


Beginne doch einfach mal mit:    [mm]\bruch{(1-i)^n}{(1+i)^n} \ = \ \left(\bruch{1-i}{1+i}\right)^n \ = \ ...[/mm]


Gruß
Loddar

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