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| Aufgabe | Löse durch geignte Substitution für [mm] G=\IC
[/mm]
[mm] x^6-7x^3-8=0 [/mm] |
Also ich bin so vorgegangen:
[mm] u=x^3
[/mm]
[mm] u^2=x^6
[/mm]
daraus folgt,
[mm] u^2-7u-8=0
[/mm]
[mm] u_1 [/mm] = 8
[mm] u_2 [/mm] =-1
rücksubstituieren
[mm] u_1 [/mm] = [mm] x^3 [/mm]
8 = [mm] x^3
[/mm]
2= x (relle Lösung)
[mm] u_2 [/mm] = [mm] x^3
[/mm]
-1 = [mm] x^3
[/mm]
Nun habe ich -1 als komplexe Zahl dargestellt
$z=-1+0i $
was ich auch in Polarkoordinaten schreiben kann als $z =1*(cos(180)+i*sin(180))$
Nun wende ich die Wurzelformel an:
![[]](/images/popup.gif) Wurzelformel
erster Schritt:
$1*(cos(60)+i*sin(60)) = 0,5 +i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ Nullstelle passt
zweiter Schritt:
$1*(cos(180)+i*sin(180)) = -1$ Nullstelle passt
dritter Schrittt:
$1*(cos(300)+i*sin(300)) = 0,5 -i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ Nullstelle passt
Ich habe also durch diese Verfahren 4 Nullstellen gefunden; -1, 2,$0,5 +i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ , $0,5 -i* [mm] \wurzel{3}/2$ [/mm]
Doch wie komme ich auf die letzten Zwei (komplexen Nullstellen)??
PS: Mir ist schon klar das man dieses Bsp. auch anders rechnen kann (hab die Lösungen auch auf google gefunden). Würde es aber gerne mit dieser Wurzelformel lösen :)
Danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 12.08.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich verstehe deine Frage überhaupt nicht. Du hast auch die beiden nicht reellen Lösungen gefunden, du gibst den Link zur Formel an, mit der du sie gefunden hast - und dann fragst du "Wie habe ich die gefunden?"
Seltsam...
> Löse durch geignte Substitution für [mm]G=\IC[/mm]
> [mm]x^6-7x^3-8=0[/mm]
> Also ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]u=x^3[/mm]
> [mm]u^2=x^6[/mm]
>
> daraus folgt,
> [mm]u^2-7u-8=0[/mm]
> [mm]u_1[/mm] = 8
> [mm]u_2[/mm] =-1
>
> rücksubstituieren
>
> [mm]u_1[/mm] = [mm]x^3[/mm]
> 8 = [mm]x^3[/mm]
> 2= x (relle Lösung)
>
>
> [mm]u_2[/mm] = [mm]x^3[/mm]
> -1 = [mm]x^3[/mm]
>
> Nun habe ich -1 als komplexe Zahl dargestellt
> [mm]z=-1+0i[/mm]
> was ich auch in Polarkoordinaten schreiben kann als [mm]z =1*(cos(180)+i*sin(180))[/mm]
>
> Nun wende ich die Wurzelformel an:
>
> Wurzelformel
>
> erster Schritt:
> [mm]1*(cos(60)+i*sin(60)) = 0,5 +i* \wurzel{3} /2[/mm] Nullstelle
> passt
>
> zweiter Schritt:
> [mm]1*(cos(180)+i*sin(180)) = -1[/mm] Nullstelle passt
>
> dritter Schrittt:
> [mm]1*(cos(300)+i*sin(300)) = 0,5 -i* \wurzel{3} /2[/mm] Nullstelle
> passt
>
>
> Ich habe also durch diese Verfahren 4 Nullstellen gefunden;
> -1, 2,[mm]0,5 +i* \wurzel{3} /2[/mm] , [mm]0,5 -i* \wurzel{3}/2[/mm]
>
> Doch wie komme ich auf die letzten Zwei (komplexen
> Nullstellen)??
>
> PS: Mir ist schon klar das man dieses Bsp. auch anders
> rechnen kann (hab die Lösungen auch auf google gefunden).
> Würde es aber gerne mit dieser Wurzelformel lösen :)
>
> Danke euch
>
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Ja richtig, ich habe bereits vier gefunden.... da die Gleichung aber 6sten Grades ist, muss es ja noch zwei geben.
Doch wie komme ich auf diese zwei letzten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 12.08.2015 | | Autor: | abakus |
Ach so,
auch die Gleichung [mm] $x^3=8$ [/mm] hat drei Lösungen.
Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente sind 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und 240°.
Die beiden anderen Lösungen sind somit
2(cos 120°+i*sin 120°)
und
2(cos 240°+i*sin 240°).
Gruß Abakus
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> Ach so,
> auch die Gleichung [mm]x^3=8[/mm] hat drei Lösungen.
> Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente sind
> 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und
> 240°.
> Die beiden anderen Lösungen sind somit
> 2(cos 120°+i*sin 120°)
> und
> 2(cos 240°+i*sin 240°).
>
Genau das hatte ich auch, laut wolfram alpha sind die fehlenden Lösungen aber:
$1- [mm] \wurzel{3} [/mm] i $und $1+ [mm] \wurzel{3} [/mm] i$
Das stimmt ja nicht überein, oder übersehe iich da was?
Danke für deine Hilfe
> Gruß Abakus
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> > Ach so,
> > auch die Gleichung [mm]x^3=8[/mm] hat drei Lösungen.
> > Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente
> sind
> > 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und
> > 240°.
> > Die beiden anderen Lösungen sind somit
> > 2(cos 120°+i*sin 120°)
> > und
> > 2(cos 240°+i*sin 240°).
> >
>
> Genau das hatte ich auch, laut wolfram alpha sind die
> fehlenden Lösungen aber:
>
> [mm]1- \wurzel{3} i [/mm]und [mm]1+ \wurzel{3} i[/mm]
>
> Das stimmt ja nicht überein, oder übersehe iich da was?
>
> Danke für deine Hilfe
>
Hat sich erledigt, danke :)
> > Gruß Abakus
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