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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Di 27.11.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Hab Probleme mit folgender Aufgabe:
Es sollen alle komplexen Lösungen angegeben werden für die gilt:
[mm] z^{3}=27
[/mm]
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Zuerst mal frage ich mich, was denn 27 als komplexe Zahl dargestellt ist:
das müsste doch dann 27+0*i sein, oder?
Also demnach müsste doch dann folgendermaßen vorgegangen werden:
[mm] z^{3}=z*z*z=(27+0*i)
[/mm]
->(x+i)*(x+i)*(x+i)=(27+0*i)
[mm] ->(3+0*i)^{3}=(27+0*i)=27 [/mm] (da [mm] 3^{3}=27)
[/mm]
Aber ich kann mir fast nicht vorstellen, dass das richtig sein soll. Ich glaube eher, dass ich im Ansatz einen Fehler gemacht hab.
Wie kommt man auf die anderen Lösungen, wenn ja alle Lösungen angegeben werdens sollen?
Wer kann mir da helfen?
Gruß, Ralf
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Hallo Ralf!
Wenn Du hier "zu Fuß" rechnen möchtest, musst Du folgenden Ansatz wählen. Schließlich musst Du im Komplexen auch insgesamt 3 Lösungen erhalen:
[mm] $$(x+\red{y}*i)^3 [/mm] \ = \ [mm] x^3+3*x^2*y*i+3*x*(y*i)^2+(y*i)^3 [/mm] \ = \ ... \ = \ 27+0*i$$
Oder Du verwendest die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel für die Berechnung der komplexen Wurzel von [mm] $\wurzel[3]{27} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{27+0*i}$ [/mm] mit:
$$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 1 \ ... \ (n-1)$$
Gruß vom
Roadrunner
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