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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 07.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Für [mm] $R\in\mathbb{R}$, [/mm] $R>0$, sei der stetig differenzierbare geschlossene Weg [mm] $\gamma_R$ [/mm] definiert durch
[mm] $\gamma_R:[0;2\pi]\to\mathbb{C},\gamma_R(t)=Re^{it}$
[/mm]
Berechnen Sie folgende Integrale:
(a)
[mm] $\int_{\gamma_R}\frac{\cos z}{z-a}dz$ $(a\in\mathbb{C}, R\neq [/mm] |a|)$
(b)
[mm] $\int_{\gamma_R}\frac{f(z)}{z^2+1}dz$ ($f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ [/mm] komplex differenzierbar)
(c)
[mm] $\int_{\gamma_R}\frac{\sin z}{z(z-\pi)}dz$ [/mm] |
Hallo zusammen,
komme noch etwas mit den komplexen Integralen und den Integralsätzen durcheinander, daher wäre es nett, wenn jemand meine Ansätze kommentieren könnte.
Generell gilt doch, dass der Träger von [mm] $\gamma_R$ [/mm] die Kreisscheibe um $0$ mit Radius $R$ ist oder?. Der Weg ist geschlossen, so dass doch der Cauchysche Integralsatz für Sterngebiete anwendbar ist oder? Dann würden mir aber doch alle Integrale über [mm] $\gamma_R$ [/mm] zu null wegfallen, was mir zu einfach scheint
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 07.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Gregor!
> Für [mm]R\in\mathbb{R}[/mm], [mm]R>0[/mm], sei der stetig differenzierbare
> geschlossene Weg [mm]\gamma_R[/mm] definiert durch
>
> [mm]\gamma_R:[0;2\pi]\to\mathbb{C},\gamma_R(t)=Re^{it}[/mm]
>
> Berechnen Sie folgende Integrale:
> (a)
> [mm]\int_{\gamma_R}\frac{\cos z}{z-a}dz[/mm] [mm](a\in\mathbb{C}, R\neq |a|)[/mm]
>
> (b)
> [mm]\int_{\gamma_R}\frac{f(z)}{z^2+1}dz[/mm]
> ([mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/mm] komplex differenzierbar)
>
>
> (c)
> [mm]\int_{\gamma_R}\frac{\sin z}{z(z-\pi)}dz[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> komme noch etwas mit den komplexen Integralen und den
> Integralsätzen durcheinander, daher wäre es nett, wenn
> jemand meine Ansätze kommentieren könnte.
>
> Generell gilt doch, dass der Träger von [mm]\gamma_R[/mm] die
> Kreisscheibe um [mm]0[/mm] mit Radius [mm]R[/mm] ist oder?.
[mm]\gamma_R[/mm] ist der entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufene Rand der Kreisscheibe vom Radius R um den Punkt 0, ja.
> Der Weg ist
> geschlossen, so dass doch der Cauchysche Integralsatz für
> Sterngebiete anwendbar ist oder? Dann würden mir aber doch
> alle Integrale über [mm]\gamma_R[/mm] zu null wegfallen, was mir zu
> einfach scheint
Der Cauchysche Integralsatz gilt aber nur, wenn die zu integrierende Funktion im gesamten Gebiet holomorph ist. Ist das hier immer der Fall?
Tipp: Cauchysche Integralformel
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 09.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
vielen Dank erstmal für Deine Antwort.
Zu (a): Die Kosinus-Funktion ist ganz, also holomorph. Dann gilt mit der Cauchyschen Integralformel:
[mm] $f(a)2\pi [/mm] i [mm] =\int_{\gamma_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta - a}d\zeta$ [/mm] zumindest für alle $a$, die innerhalb der Kreisschreibe [mm] $\Delta_R(0)$ [/mm] liegen. (die Kreisschreibe [mm] $\Delta:=\Delta_R(0)$ [/mm] liegt nebst Rand [mm] $\gamma_R$ [/mm] in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] ist auf [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph. Die Integralformel gilt dann zunächst für alle [mm] $z\in\Delta$).
[/mm]
ist das soweit richtig? und wenn ja, wie kann ich den Fall $|a|>R$ abfangen?
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> vielen Dank erstmal für Deine Antwort.
>
> Zu (a): Die Kosinus-Funktion ist ganz, also holomorph. Dann
> gilt mit der Cauchyschen Integralformel:
>
> [mm]f(a)2\pi i =\int_{\gamma_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta - a}d\zeta[/mm]
> zumindest für alle [mm]a[/mm], die innerhalb der Kreisschreibe
> [mm]\Delta_R(0)[/mm] liegen. (die Kreisschreibe [mm]\Delta:=\Delta_R(0)[/mm]
> liegt nebst Rand [mm]\gamma_R[/mm] in [mm]\mathbb{C}[/mm] und [mm]\cos[/mm] ist auf
> [mm]\mathbb{C}[/mm] holomorph. Die Integralformel gilt dann zunächst
> für alle [mm]z\in\Delta[/mm]).
>
> ist das soweit richtig?
Ja
>und wenn ja, wie kann ich den Fall
> [mm]|a|>R[/mm] abfangen?
Sei |a| >R. Dann gibt es eine offene Kreisscheibe um 0 mit Radius r (wobei R<r<|a|) auf der [mm] \bruch{f(z)}{z-a} [/mm] holomorph ist. Nach dem Cauchyschen Intehgralsatz ist das Integral dann = 0.
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße
> Gregor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 14.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Fred,
vielen Dank auch für diese Hinweise. Komme aber leider auch bei den anderen beiden Integralen nicht weiter. Ich versuche schon die ganze Zeit, die Terme in eine Form [mm] \frac{f(z)}{z-a} [/mm] zu bringen, aber das ist glaube ich nicht der richtige Lösungsweg. Vielleicht hast Du ja noch einen Tipp für mich.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (C):
Setze f(z) = [mm] \bruch{sinz}{z} [/mm] und a = [mm] \pi
[/mm]
Schau die die Potenzreihe von sin(z) an, dann siehst Du: f ist eine ganze Funktion.
FRED
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