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| Aufgabe | Bestimme alle komplexen Lösungen z [mm] \in \IC:
[/mm]
[mm] z^{5} [/mm] + [mm] z^{2}= i*z^{2} [/mm] |
Hallo,
ich komme beim Lösen der Gleichung auf kein Ergebnis und bräuchte dabei ein bisschen Hilfe.
Als 1. wollte ich die Gleichung in Polarkoordinaten umrechnen:
[mm] z^{5} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] i*z^{2} \gdw
[/mm]
[mm] z^{5} [/mm] = [mm] i*z^{2} [/mm] - [mm] z^{2} \gdw
[/mm]
[mm] z^{5} [/mm] = [mm] z^{2}(-1 [/mm] + 1i)
Muss ich hier noch durch [mm] z^2 [/mm] teilen? Bzw: Man sieht ja an der Ausgangsgleichung, dass 0 auch eine Lösung der Gleichung ist. Dann dürfte ich ja nicht durch [mm] z^2 [/mm] teilen, ich würde ja sonst durch 0 teilen...
Die allgemeine Lösung solcher Gleichungen mit einer komplexen Zahl z lautet ja nun:
[mm] z^{k} [/mm] = |z| * [mm] e^{\bruch{ \alpha + k*2\pi}{n}}
[/mm]
mit k = 0,1...,n-1
Mich stört das [mm] z^{2} [/mm] in der Gleichung. Der Betrag der komplexen Zahl müsste ja hier [mm] \wurzel{2} [/mm] sein.
Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand hilft.
Vielen Dank und viele Grüße :)
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Hallo,
das fängt doch gut an.
> Bestimme alle komplexen Lösungen z [mm]\in \IC:[/mm]
> [mm]z^{5}[/mm] +
> [mm]z^{2}= i*z^{2}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich komme beim Lösen der Gleichung auf kein Ergebnis und
> bräuchte dabei ein bisschen Hilfe.
>
> Als 1. wollte ich die Gleichung in Polarkoordinaten
> umrechnen:
>
> [mm]z^{5}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] = [mm]i*z^{2} \gdw[/mm]
> [mm]z^{5}[/mm] = [mm]i*z^{2}[/mm] - [mm]z^{2} \gdw[/mm]
>
> [mm]z^{5}[/mm] = [mm]z^{2}(-1[/mm] + 1i)
Soweit richtig, aber das sind ja noch keine Polarkoordinaten.
> Muss ich hier noch durch [mm]z^2[/mm] teilen? Bzw: Man sieht ja an
> der Ausgangsgleichung, dass 0 auch eine Lösung der
> Gleichung ist. Dann dürfte ich ja nicht durch [mm]z^2[/mm] teilen,
> ich würde ja sonst durch 0 teilen...
Stimmt schon, $z=0$ ist eine Lösung. Die drei übrigen findest Du, wenn Du die Gleichung eben unter Ausschluss von $z=0$ durch [mm] z^2 [/mm] teilst.
Im übrigen ist [mm] |z|=\wurzel[6]{2}
[/mm]
Grüße
reverend
> Die allgemeine Lösung solcher Gleichungen mit einer
> komplexen Zahl z lautet ja nun:
>
> [mm]z^{k}[/mm] = |z| * [mm]e^{\bruch{ \alpha + k*2\pi}{n}}[/mm]
>
> mit k = 0,1...,n-1
>
> Mich stört das [mm]z^{2}[/mm] in der Gleichung. Der Betrag der
> komplexen Zahl müsste ja hier [mm]\wurzel{2}[/mm] sein.
>
> Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand hilft.
>
> Vielen Dank und viele Grüße :)
>
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Hi,
alles klar soweit.
also:
Für die Polarkoordinaten brauche ich den Betrag und den Winkel der komplexen Zahl:
Meine Gleichung sieht nach dem teilen wie folgt aus:
[mm] z^{3} [/mm] = (-1 + 1i)
und das in Polarkoordinaten ist doch dann:
[mm] z^{3} [/mm] = (-1 + 1i) = |(-1 + 1i)| = sqrt(2) + [mm] e^{\bruch{3}{4} * \pi}
[/mm]
soweit korrekt?
Meine Lösungen der Gleichungen sind doch dann:
[mm] z^{k} [/mm] = [mm] (\wurzel{2})^{1/3} [/mm] * [mm] e^{\bruch{ \bruch{3}{4} + k\cdot{}2\pi}{3}} [/mm] mit k=0,1,2?
bzw: wie kommst Du auf 6. Wurzel von 2?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Di 04.08.2015 | | Autor: | abakus |
... dir dritte Wurzel der Quadratwurzel ist nun mal die sechste Wurzel...
[mm] $(a^n)^m=a^{nm}$ [/mm] mit [mm] $n=\frac12$ [/mm] und [mm] $m=\frac13$
[/mm]
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ja korrekt, stimmt. Sorry :-/
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