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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:51 Mo 10.11.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der nachfolgenden Funktionsfolgen [mm] (f_n)_{n\geq 1} [/mm] punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren:
(1) [mm] f_n(z):=z+\frac{1}{n}
[/mm]
(2) [mm] f_n(z):=n+\frac{1}{z}
[/mm]
(3) [mm] f_n(z):=\frac{1}{nz}
[/mm]
(4) [mm] f_n(z):=\frac{n+z}{nz} [/mm] |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn jemand über meine Zwischenergebnisse schauen könnte.
zu (1): für jedes feste [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] ist [mm] f_n(z) [/mm] die Summe aus der konstanten Folge [mm] (z)_{n\geq 1} [/mm] und einer Nullfolge, also konvergiert [mm] f_n [/mm] punktweise gegen die Identität auf [mm] \mathbb{C}.
[/mm]
zu (2): für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] ist [mm] f_n(z) [/mm] unbeschränkt, also kann [mm] f_n [/mm] weder punktweise noch glm. konvergieren.
zu (3): für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} [/mm] (exklusive der Null) ist [mm] f_n(z) [/mm] das Produkt einer konstanten Folge und einer Nullfolge, [mm] f_n [/mm] konvergiert daher punktweise gegen die Nullabbildung.
zu (4): Umgeformt ergibt sich [mm] f_n(z):=\frac{1}{z} +\frac{1}{n}. [/mm] Demnach ist für ein festes [mm] z\in\mathbb{C} f_n(z) [/mm] die Summe aus einer Nullfolge und der konstanten Folge [mm] \frac{1}{z}, [/mm] welche wiederum die Grenzfunktion ist, gegen die [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Alles was du geschrieben hast ist richtig. Bleibt ja nur noch die gleichmäßige Konvergenz zu prüfen.
Gruß, Robert
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