komplexe Di fferenzierbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Untersuche die folgenden Funktionen auf komplexe Di fferenzierbarkeit (reelle Di fferenzierbarkeit
soll kurz begründet werden) in Abhängigkeit von a; b. Für welche a; b
ist f, bzw. h komplex di fferenzierbar auf dem ganzen angegebenen Def nitionsbereich?
1.$f(x+ iy)= [mm] e^{ax}[cos(by)+ [/mm] isin(by) ]$ für $a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $fest und $x,y [mm] \in [/mm] R$
2.$g(z) = [mm] |z|^2,(z\in \mathhbb{C})$
[/mm]
[mm] 3.$(h(x+iy))=x^a [/mm] + [mm] iy^b$ [/mm] |
Zu Aufgabe 1.
Wir hatten den Satz in der Vorlesung:
Die Kopisition DiffbareFunktionen ist ebenfalls Diffbar, kann ich das hier anwenden, ich sehe nichts was mich darin hindert.
[mm] Denn$e^{ax},cos(by),isin(by)$ [/mm] sind Diffbar also auch [mm] $e^{ax}*cos(by),e^{ax}*isin(by)$ [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Untersuche die folgenden Funktionen auf komplexe
> Di fferenzierbarkeit (reelle Di fferenzierbarkeit
> soll kurz begründet werden) in Abhängigkeit von a; b.
> Für welche a; b
> ist f, bzw. h komplex di fferenzierbar auf dem ganzen
> angegebenen Def nitionsbereich?
> 1.[mm]f(x+ iy)= e^{ax}[cos(by)+ isin(by) ][/mm] für [mm]a,b \in \mathbb{R} [/mm]fest
> und [mm]x,y \in R[/mm]
> 2.[mm]g(z) = |z|^2,(z\in \mathhbb{C})[/mm]
>
> 3.[mm](h(x+iy))=x^a + iy^b[/mm]
>
> Zu Aufgabe 1.
>
> Wir hatten den Satz in der Vorlesung:
> Die Kopisition DiffbareFunktionen ist ebenfalls Diffbar,
> kann ich das hier anwenden, ich sehe nichts was mich darin
> hindert.
> Denn[mm]e^{ax},cos(by),isin(by)[/mm] sind Diffbar also auch
> [mm]e^{ax}*cos(by),e^{ax}*isin(by)[/mm]
Es stimmt, das die Funktionen [mm] $\IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] cos(z)$ und [mm] $\IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] sin(z)$ komplex differenzierbar sind. Du musst hier aber vorsichtig sein. $y$ ist nur der Imaginärteil der komplexen Variablen. Das ist ein wichtiger Unterschied. Die Funktionen, wie sie hier vorkommen, sind also [mm] $\IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] cos(Im(z))$ und [mm] $\IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] sin(Im(z))$. Von denen weißt du nicht, dass sie komplex differenzierbar sind, das sind sie nämlich auch nicht.
Gehe anders an die Sache ran. Der Tipp, dass du auch reelle Differenzierbarkeit kurz begründen sollst, legt nahe, dass du die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen verwenden sollst (die ihr sicher in der Vorlesung behandelt habt). Es gilt, dass eine komplexe Funktion genau dann komplex differenzierbar ist, wenn sie (aufgefasst als Funktion in zwei Variablen) total reell differenzierbar ist UND die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen erfüllt sind.
Mit Hilfe dieses Kriteriums kannst du die Aufgaben schnell lösen.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen danke, so habe ich das auch gemacht.
vielleicht einen Blick drauf werfen, und mir sagen ob das mathematisch korrekt ist.
Ich schreibe einfach die Matrix der CRD hin
$ [mm] \begin{pmatrix} ae^{ax}cos(by) &ae^{ax}sin(by) \\ -be^{ax}sin(by) & be^{ax}cos(by) \end{pmatrix} [/mm] $
Also für a = b ist die Funktion differenzierbar,
richtig ?
Hast du vielleicht ne Idee zu der Aufgabe 3.
Also ich würde die auch mit der
Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen lösen.
und erhalte die Jacobi matrix
[mm] \begin{pmatrix} ax^{a-1}& 0 \\ 0 & bx^{b-1} \end{pmatrix},
[/mm]
dann ist die Funktion für a=b in ganz C diffbar.
Richtig
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Do 05.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ich schreibe einfach die Matrix der CRD hin
>
> [mm]\begin{pmatrix} ae^{ax}cos(by) &ae^{ax}sin(by) \\ -be^{ax}sin(by) & be^{ax}cos(by) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also für a = b ist die Funktion differenzierbar,
> richtig ?
Genau, dann kannst du das auch wie folgt noch umschreiben:
$ f(x+ iy)= [mm] e^{ax}[cos(by)+ [/mm] isin(by) ]= [mm] e^{ax}e^{iay} [/mm] = [mm] e^{a(x+iy)}=e^{az}$.
[/mm]
Für a=b fällt die Funktion f also mit der "normalen" e-Funktion zusammen. Das bestätigt deine Rechnung.
> Hast du vielleicht ne Idee zu der Aufgabe 3.
> Also ich würde die auch mit der
> Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen lösen.
> und erhalte die Jacobi matrix
> [mm]\begin{pmatrix} ax^{a-1}& 0 \\ 0 & bx^{b-1} \end{pmatrix},[/mm]
>
> dann ist die Funktion für a=b in ganz C diffbar.
> Richtig
Das passt meines Erachtens, du musst nur nochmal darauf achten, was passiert wenn a oder b negativ sind. Dann ist die Funktion für x=0 oder y=0 nämlich nicht mehr total differenzierbar, ja sogar nicht mal mehr definiert.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen danke, so habe ich das auch gemacht.
> vielleicht einen Blick drauf werfen, und mir sagen ob das
> mathematisch korrekt ist.
>
> Ich schreibe einfach die Matrix der CRD hin
>
> [mm]\begin{pmatrix} ae^{ax}cos(by) &ae^{ax}sin(by) \\ -be^{ax}sin(by) & be^{ax}cos(by) \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also für a = b ist die Funktion differenzierbar,
> richtig ?
> Hast du vielleicht ne Idee zu der Aufgabe 3.
> Also ich würde die auch mit der
> Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen lösen.
> und erhalte die Jacobi matrix
> [mm]\begin{pmatrix} ax^{a-1}& 0 \\ 0 & bx^{b-1} \end{pmatrix},[/mm]
Hallo Nadia, hallo Lippel,
die obige Jacobi-Matrix ist falsch. Richtig:
[mm]\begin{pmatrix} ax^{a-1}& 0 \\ 0 & by^{b-1} \end{pmatrix},[/mm]
Da über a und b nichts bekannt ist, kann h nur für Punkte (x,y) def. sein, für die gilt: x>0 und y>0. Dann wirds aber haarig, die Punkt ausfindig zu machen, in denen h komplex differenzierbar ist.
FRED
>
> dann ist die Funktion für a=b in ganz C diffbar.
> Richtig
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
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