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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplex differenzierbar
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komplex differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 07.05.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
In welchen Punkten ist sin|z| komplex differenzierbar?

Hallo

wie soll ich an obige Aufgabe am besten ran gehen? Ich habe mich gefragt ob [mm] sin(\sqrt{(x^2+y^2)}) [/mm] überhaupt total reell diffbar ist.

        
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 07.05.2015
Autor: fred97


> In welchen Punkten ist sin|z| komplex differenzierbar?
>  Hallo
>  
> wie soll ich an obige Aufgabe am besten ran gehen? Ich habe
> mich gefragt ob [mm]sin(\sqrt{(x^2+y^2)})[/mm] überhaupt total
> reell diffbar ist.  


Reizvolle Aufgabe ....

Fall 1: z=0.

Ist t [mm] \in \IR [/mm] und t>0, so gilt:

   [mm] \bruch{f(t)-f(0)}{t}= \bruch{sin(t)}{t} \to [/mm] 1  füt t [mm] \to [/mm] 0.

Ist t [mm] \in \IR [/mm] und t<0, so gilt:

   [mm] \bruch{f(t)-f(0)}{t}= \bruch{sin(-t)}{t}=- \bruch{sin(t)}{t} \to [/mm] -1  füt t [mm] \to [/mm] 0.

Was bedeutet das für die Frage, ob f in z=0 komplex differenzierbar ist.

Fall 2. z [mm] \ne [/mm] 0, also [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2}>0. [/mm]

Die Funktion  f ist in einem solchen Punkt natürlich reell differenzierbar.

Die Cauchy-Riemannschen DGLen sind in einem sochen Punkt genau dann erfüllt, wenn

   xcos(|z|)=0  und ycos(|z|)=0

ist. Da x [mm] \ne [/mm] 0 oder y [mm] \ne [/mm] 0 ist, folgt:

Die Cauchy-Riemannschen DGLen sind in z genau dann erfüllt, wenn

   cos(|z|)=0.

Rechne das nach !

Sei

   [mm] K_n:=\{z \in \IC: |z|=\bruch{2n+1}{2}* \pi\} [/mm] für $n [mm] \in \IN_0$. [/mm]

Zeige nun, dass aus obigen Fällen folgt: ist [mm] z_0 \in \IC, [/mm] so gilt:

   f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar

   [mm] \gdw [/mm]  

   es ex. ein $n [mm] \in \IN_0 [/mm] $ mit: [mm] z_0 \in K_n. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
komplex differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Do 07.05.2015
Autor: Trikolon

Hallo Fred,

danke für deine Mühe! Ich habe es soweit verstanden bis auf den Schritt, in dem du [mm] K_n [/mm] definierst. cos(|z|)=0 bedeutet doch [mm] |z|=\pi/2+k\pi, [/mm] k [mm] \in [/mm] Z...
Könntest du mir das noch mal erklären?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:18 Fr 08.05.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke für deine Mühe! Ich habe es soweit verstanden bis
> auf den Schritt, in dem du [mm]K_n[/mm] definierst. cos(|z|)=0
> bedeutet doch [mm]|z|=\pi/2+k\pi,[/mm] k [mm]\in[/mm] Z...


Eigeninitiative,... wie schreibst Du das ?

[mm] $\bruch{\pi}{2}+ [/mm] k [mm] \pi =\bruch{\pi + 2k \pi}{2}=\bruch{(2k+1) \pi}{2}$ [/mm]

Ist k [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] |z|=\bruch{(2k+1) \pi}{2}, [/mm] so ist |z| [mm] \ge [/mm] 0 , also k [mm] \ge [/mm] 0 und somit k [mm] \in \IN_0. [/mm]

Ich habe n statt k geschrieben, ich Schuft ....

FRED


>  Könntest du mir das noch mal erklären?
>  
> Danke!


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