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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 01.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, f(z)=|z|^2 [/mm] sin [mm] \bruch{1}{|z|^2} [/mm] für z ungleich 0 und f(z)=0 für z=0.
Bestimme alle Punkte z [mm] \in \IC, [/mm] in denen f partiell diffbar, stetig partiell diffbar, total (reell) diffbar und komplex diffbar ist. |
Hallo,
ich habe zunächst f umgeschrieben durch z=x+iy:
[mm] f(x+iy)=(x^2+y^2) [/mm] sin [mm] \bruch{1}{x^2+y^2}
[/mm]
f ist außerhalb des Ursprungs stetig partiell diffbar als Komposition stetig partiell diffbarer Funktionen und somit total diffbar auf [mm] IR^2\ [/mm] {(0,0)}.
f ist in (0,0) partiell diffbar, da
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h,0)}{h} [/mm] = h [mm] sin(1/h^2)=0 =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0,h)}{h} [/mm] da sin(.) beschränkt ist.
f ist auch total (reell) diffbar in (0,0). Nach der Def der totalen Diffbarkeit muss A=(0,0) die approximierende lineare Abbildung sein und wegen f(0,0)=0 muss gelten:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] =0
Tatsächlich ist [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \wurzel{x^2+y^2} [/mm] sin [mm] (\bruch{1}{x^2+y^2})=0
[/mm]
Aber f ist nicht stetig partiell diffbar, da sie partiellen Ableitungen nicht stetig sind:
[mm] f_x [/mm] (x,y)= [mm] 2xsin(\bruch{1}{x^2+y^2}) [/mm] + [mm] cos(\bruch{1}{x^2+y^2}) \bruch{-2x}{x^2+y^2}
[/mm]
Nun zur komplexen Diffbarkeit.
Da der Im(f(z))=0 ist f nirgend komlex diffbar, weil die Cauchy-Riemannschen DGL nicht erfüllt sind.
Wäre froh über eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC, f(z)=|z|^2[/mm] sin [mm]\bruch{1}{|z|^2}[/mm] für
> z ungleich 0 und f(z)=0 für z=0.
>
> Bestimme alle Punkte z [mm]\in \IC,[/mm] in denen f partiell
> diffbar, stetig partiell diffbar, total (reell) diffbar und
> komplex diffbar ist.
> Hallo,
>
> ich habe zunächst f umgeschrieben durch z=x+iy:
>
> [mm]f(x+iy)=(x^2+y^2)[/mm] sin [mm]\bruch{1}{x^2+y^2}[/mm]
>
> f ist außerhalb des Ursprungs stetig partiell diffbar als
> Komposition stetig partiell diffbarer Funktionen und somit
> total diffbar auf [mm]IR^2\[/mm] {(0,0)}.
>
> f ist in (0,0) partiell diffbar, da
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h,0)}{h}[/mm] = h [mm]sin(1/h^2)=0 =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0,h)}{h}[/mm]
> da sin(.) beschränkt ist.
>
> f ist auch total (reell) diffbar in (0,0). Nach der Def der
> totalen Diffbarkeit muss A=(0,0) die approximierende
> lineare Abbildung sein und wegen f(0,0)=0 muss gelten:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}[/mm] =0
>
> Tatsächlich ist [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \wurzel{x^2+y^2}[/mm] sin
> [mm](\bruch{1}{x^2+y^2})=0[/mm]
Alles O.K. bis hier
>
> Aber f ist nicht stetig partiell diffbar, da sie partiellen
> Ableitungen nicht stetig sind:
>
> [mm]f_x[/mm] (x,y)= [mm]2xsin(\bruch{1}{x^2+y^2})[/mm] +
> [mm]cos(\bruch{1}{x^2+y^2}) \bruch{-2x}{x^2+y^2}[/mm]
Zeige das noch. Du behauptest nur, dass [mm] f_x [/mm] unstetig ist.
>
> Nun zur komplexen Diffbarkeit.
> Da der Im(f(z))=0 ist f nirgend komlex diffbar, weil die
> Cauchy-Riemannschen DGL nicht erfüllt sind.
Ja
FRED
>
> Wäre froh über eure Hilfe!
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Hmm, ich finde keine geeigneten Nullfolgen, um zu zeigen, dass [mm] f_x [/mm] nicht stetig ist.
[%sig%
wenn ich noch mal drüber nachdenke, müsste f nicht für z=0 komplex diffbar sein, weil die Ableitung ja 0 ist. Damit sind die DGLn doch erfüllt, oder?
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Was meint ihr? Also nur im Nullpunkt komplex diffbar und sonst nirgendwo.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 04.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 03.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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