komplementärer Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | | Sei [mm] U_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3|x_1+x_2+x_3=0\}. [/mm] Finde einen Unterraum [mm] U_2 \subset \IR^3, [/mm] sodass [mm] U_1+U_2=\IR^3 [/mm] und [mm] U_1\cap U_2={0}. [/mm] |
Hallo,...
meine überlegung zu dieser aufgabe ist: da [mm] U_1 [/mm] eine Ebene in [mm] \IR^3 [/mm] darstellt ist die dimension 2 aber wie kann ich das nachweisen? [mm] U_2 [/mm] muss dann eine Gerade sein, die aber nicht durch Vektoren des [mm] U_1 [/mm] darstellbar sind. eine basis zu [mm] U_1 [/mm] wäre [mm] doch:v_1= \vektor{1\\-1\\0} v_2=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] und [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\-1} [/mm] oder muss [mm] U_2 [/mm] nur eine basis aus 2 vektoren haben? meine überlegung zu [mm] U_2 :\{(x_1,x_2)\in \IR^2|2x_1+3x_2=3\} [/mm] bzw hier sind ja undendlich viele lösungen möglich. so jetzt weiß ich aber nicht wie ich mit meinen überlegungen weiter machen soll
vielen dank für eure hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei [mm]U_1=\{(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3|x_1+x_2+x_3=0\}.[/mm] Finde
> einen Unterraum [mm]U_2 \subset \IR^3,[/mm] sodass [mm]U_1+U_2=\IR^3[/mm]
> und [mm]U_1\cap U_2={0}.[/mm]
> Hallo,...
> meine überlegung zu dieser aufgabe ist: da [mm]U_1[/mm] eine Ebene
> in [mm]\IR^3[/mm] darstellt ist die dimension 2 aber wie kann ich
> das nachweisen?
Hallo,
es kommt natürlich ein wenig darauf an, was Ihr so hattet bisher.
--- [mm] U_1 [/mm] ist ja der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungs"systems" [mm] x_1+x_2+x_3=0.
[/mm]
Genau die Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in \IR^3, [/mm] die das GS lösen, liegen in [mm] U_1. [/mm]
Gelingt es Dir, eine Basis dieses LGS zu bestimmen, so hast Du die Basis dieses (Unter)Vektorraumes.
--- [mm] x_1+x_2+x_3=0 [/mm] ist die Gleichung einer Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] durch den Ursprung mit Normalenvektor [mm] \vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Sie Wird also aufgespannt v. zwei linear unabhängigen Vektoren, welche senkrecht zu [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] sind.
> [mm]U_2[/mm] muss dann eine Gerade sein,
richtig.
> die aber
> nicht durch Vektoren des [mm]U_1[/mm] darstellbar sind.
Richtig, denn die Summe aus [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] soll ja [mm] \IR [/mm] ergeben.
> eine basis
> zu [mm]U_1[/mm] wäre [mm]doch:v_1= \vektor{1\\-1\\0} v_2=\vektor{0\\1\\-1}[/mm]
> und [mm]v_3[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\-1}[/mm]
Nun widersprichst Du Dir selbst. Du hast doch eben gesagt: zweidimensional.
(Die drei Vektoren können schon deshalb keine Basis sein, weil sie nicht linear unabhängig sind.
> oder muss [mm]U_2[/mm] nur eine basis
> aus 2 vektoren haben?
Aus nur einem Vektor. Du hast doch selbst gesagt, daß es eine Gerade ist, und Geraden sind eindimensional.
> meine überlegung zu [mm]U_2 :\{(x_1,x_2)\in \IR^2|2x_1+3x_2=3\}[/mm]
Das ist ja eine Ebene.
Du hättest damit zwei Ebenen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2, [/mm] und wenn deren Summe der ganze [mm] \IR^3 [/mm] sein soll, kann deren Schnitt nicht leer sein. Der leere Schnitt ist aber gefordert.
> bzw hier sind ja undendlich viele lösungen möglich. so
> jetzt weiß ich aber nicht wie ich mit meinen überlegungen
> weiter machen soll
Bestimme zunächst eine Basis des [mm] U_1. [/mm] Erganze sie zu einer Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Der Ergänzungsvektor spanne den Raum [mm] U_2 [/mm] auf. Der so definierte Raum [mm] U_2 [/mm] tut alles, was von ihm verlangt wird, was Du nachweisen mußt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hundert |
okay erst mal vielen dank für die schnele antwort.
also mir ist aber leider nicht klar geworden, wie ich die dimension von [mm] U_1 [/mm] bestimmen kann, wenn die lösung beispielsweise nicht so offensichtlich ist wie hierbei. gibt es da ein defin iton/satz/ formel?
also wenn ich jetzt davon ausgehe dass dim =2 ist, dann ist eine basis von [mm] U_1 \vektor{1\\-1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\-1} [/mm] da diese das Gs lösen und linear unabhängig sind. so jetzt haben wir aber in der vorlesung gesagt: dass (v1,v2) nur dann eine basis ist wenn linear unabhängig und den vekoorraum [mm] u_1 [/mm] erzeugen.(<-- folgt das schon darsu, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] das Gs lösen?
ergänzen muss man das doch mit dem basisergänzungssatz
doch mir ist nicht ganz klar wie das hier funktionieren soll
ohne den satz hab ich mir überlegt, dass [mm] U_1 [/mm] mit dem vektor [mm] v_3= \vektor{1\\0\\0} [/mm] zu [mm] \IR^3 [/mm] ergänz werden muss und die gerade bzw [mm] U_2 [/mm] folgende form haben müsste: [mm] U_2= \{(z,0,0) \in \IR^3 |z \in \IR \}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> also mir ist aber leider nicht klar geworden, wie ich die
> dimension von [mm]U_1[/mm] bestimmen kann, wenn die lösung
> beispielsweise nicht so offensichtlich ist wie hierbei.
> gibt es da ein defin iton/satz/ formel?
Hallo,
Du stellst die Frage sehr allgemein, denn es gibt ja recht verschiedene Vektorräume, da ist es nicht anzunehmen, daß es eine einzige Methode zum Finden der Basis gibt, oder?
Beziehst Du Dich jetzt auf Räume, die durch lineare Gleichungen gegeben sind?
Hier findet man die Basis durch Lösen des Gleichungssystems.
> also wenn ich jetzt davon ausgehe dass dim =2 ist, dann
> ist eine basis von [mm]U_1 \vektor{1\\-1\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\1\\-1}[/mm] da diese das Gs lösen und linear
> unabhängig sind.
Ja. WENN Du bereits weißt, daß die Dimension =2 ist, ist das richtig.
> so jetzt haben wir aber in der vorlesung
> gesagt: dass (v1,v2) nur dann eine basis ist wenn linear
> unabhängig und den vekoorraum [mm]u_1[/mm] erzeugen.(<-- folgt das
> schon darsu, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] das Gs lösen?
Wie gesagt, wenn Du weißt, daß die Dimension 02 ist, und Du eine Basis hast, so ist diese automatisch ein Erzeugendensystem.
Daß die Dimension des Lösungsraumes =2 ist, kannst Du dem Gleichungssystem ansehen, bzw, der in Zeilenstufenform gebrachten Koeffizientenmatrix. Ihr Rang ist offensichtlcih =1, also hat der Kern die Dimension 2.
>
>
> ergänzen muss man das doch mit dem basisergänzungssatz
> doch mir ist nicht ganz klar wie das hier funktionieren
> soll
> ohne den satz hab ich mir überlegt, dass [mm]U_1[/mm] mit dem
> vektor [mm]v_3= \vektor{1\\0\\0}[/mm] zu [mm]\IR^3[/mm] ergänz werden muss
Genau - das weiß man "vom Gefühl her" schon.
Der basisergänzungssatz sagt einem lediglich, daß es so eine Ergänzung gibt, darüber, wie man sie findet, schweigt er.
Du hast offensichtlich eine gefunden, und damit ist der von Deinem Ergänzungsvektor aufgespannte Raum der gesuchte Raum [mm] U_2 [/mm] - andere wären möglich und genauso richtig.
Gruß v. Angela
> und die gerade bzw [mm]U_2[/mm] folgende form haben müsste: [mm]U_2= \{(z,0,0) \in \IR^3 |z \in \IR \}[/mm]
>
|
|
|
|
