kompl. konj Fkt. holomorph < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 18.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | | Sei U [mm] \subset \in \IC [/mm] eine offene Teilmenge und f : U [mm] \to \in \IC [/mm] eine holomorphe Funktion. Wir bezeichnen mit V := [mm] U^{konj.} [/mm] := { z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] \overline{z} \in [/mm] U } die komplex konjugierte Menge. Zeigen Sie die Funktion g : V [mm] \to \in \IC, [/mm] die durch g(z) [mm] :=\overline{f(\overline{z)}} [/mm] definiert ist, ist ebenfalls holomorph. |
Hallöchen,
ich muss obige Aufgabe lösen.
Dazu :
Def aus Skript:
Eine Abbildung f : U [mm] \to \IC [/mm] , mit U [mm] \subset \IC [/mm] offen, heißt
1) komplex diff'bar in [mm] z_{0} \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} [/mm] = [mm] f'(z_{0}) [/mm] existiert
2) holomorph (auf U) wenn f in allen Punkten [mm] z_{0} \in [/mm] U komplex differenzierbar ist.
würde gerne 1) aus der Definition auf g anwenden also :
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}} [/mm] =
[mm] \limes_{\overline{z}\rightarrow \overline{z_{0}}} \bruch{\overline{f(\overline{z)}}-\overline{f(\overline{z_{0})}}}{\overline{z}-\overline{z_{0}}} [/mm] =
vermutlich verwende ich als nächstes, dass [mm] \overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}
[/mm]
so aber nun weiß ich nicht genau wie ich weiter vorgehen soll. Bin mir auch nicht sicher ob in Zeile 2 in den Nenner und [mm] \overline{z}-\overline{z_{0}} [/mm] muss oder nur [mm] z-z_{0} [/mm] ebenso bei [mm] \limes_{\overline{z}\rightarrow \overline{z_{0}}}.
[/mm]
Nach aufgabenstellung ist f ja holomorph, also gilt dafür ja [mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} [/mm] = [mm] f'(z_{0}) [/mm]
bzw [mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} [/mm] - [mm] \underbrace{f'(z_{0})}_{=r} [/mm] = 0
das werde ich ja benutzen müssen um für g zu zeigen, dass g holomorph ist.
Könnt ihr mir da vielleicht mal weiter helfen ?
Danke :))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:32 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei U [mm]\subset \in \IC[/mm] eine offene Teilmenge und f : U [mm]\to \in \IC[/mm]
> eine holomorphe Funktion. Wir bezeichnen mit V := [mm]U^{konj.}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> := { z [mm]\in \IC[/mm] | [mm]\overline{z} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } die komplex
> konjugierte Menge. Zeigen Sie die Funktion g : V [mm]\to \in \IC,[/mm]
> die durch g(z) [mm]:=\overline{f(\overline{z)}}[/mm] definiert ist,
> ist ebenfalls holomorph.
> Hallöchen,
> ich muss obige Aufgabe lösen.
> Dazu :
> Def aus Skript:
> Eine Abbildung f : U [mm]\to \IC[/mm] , mit U [mm]\subset \IC[/mm] offen,
> heißt
> 1) komplex diff'bar in [mm]z_{0} \in[/mm] U [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}[/mm]
> = [mm]f'(z_{0})[/mm] existiert
> 2) holomorph (auf U) wenn f in allen Punkten [mm]z_{0} \in[/mm] U
> komplex differenzierbar ist.
>
> würde gerne 1) aus der Definition auf g anwenden also :
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}[/mm]
> =
>
> [mm]\limes_{\overline{z}\rightarrow \overline{z_{0}}} \bruch{\overline{f(\overline{z)}}-\overline{f(\overline{z_{0})}}}{\overline{z}-\overline{z_{0}}}[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist
[mm] \bruch{g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}=\bruch{\overline{f(\overline{z)}}-\overline{f(\overline{z_{0})}}}{z-z_0}
[/mm]
FRED
> =
> vermutlich verwende ich als nächstes, dass
> [mm]\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}[/mm]
>
> so aber nun weiß ich nicht genau wie ich weiter vorgehen
> soll. Bin mir auch nicht sicher ob in Zeile 2 in den Nenner
> und [mm]\overline{z}-\overline{z_{0}}[/mm] muss oder nur [mm]z-z_{0}[/mm]
> ebenso bei [mm]\limes_{\overline{z}\rightarrow \overline{z_{0}}}.[/mm]
>
> Nach aufgabenstellung ist f ja holomorph, also gilt dafür
> ja [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}[/mm]
> = [mm]f'(z_{0})[/mm]
> bzw [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}[/mm]
> - [mm]\underbrace{f'(z_{0})}_{=r}[/mm] = 0
>
> das werde ich ja benutzen müssen um für g zu zeigen, dass
> g holomorph ist.
> Könnt ihr mir da vielleicht mal weiter helfen ?
>
> Danke :))
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Die Umformung ist nicht korrekt. Wie fred97 schon bemerkt hat, gilt:
[mm]\lim_{z \to z_0} \frac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0} = \lim_{z \to z_0}\frac{\overline{f(\overline{z})} - \overline{f(\overline{z_0})}}{z - z_0}[/mm]
Und jetzt ist das Ganze graphisch etwas schwierig darzustellen. Wichtig ist: Die komplexe Konjugation ist mit allen Grundrechenarten verträglich. Im Zähler kannst du daher, wie schon von dir vermutet,
[mm]\overline{f(\overline{z})} - \overline{f(\overline{z_0}} = \overline{f(\overline{z}) - f(\overline{z_0})}[/mm]
verwenden. Und im Nenner kannst du
[mm]z - z_0 = \overline{\overline{z - z_0}} = \overline{\overline{z} - \overline{z_0}}[/mm]
schreiben. Die großen Querstriche kannst du wegen [mm]\frac{\overline{A}}{\overline{B}} = \overline{\ \left( \frac{A}{B} \right) \ }[/mm] zu einem einzigen Querstrich über den ganzen Bruch verbinden. Und dann mußt du nur noch beachten, daß, wenn [mm]z \to z_0[/mm] strebt, auch [mm]\overline{z} \to \overline{z_0}[/mm] strebt (Stetigkeit der komplexen Konjugation). Damit hast du unter dem Querstrich den Differenzenquotienten mit der "Umbenennung" der ungequerten Größen zu gequerten. Die gequerten Größen liegen aber in [mm]U[/mm] (beachte die Definition von [mm]V[/mm]).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 19.04.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Vielen Dank schonmal!
okay, ich versuche es nochmal.
[mm] \lim_{z \to z_0} \frac{g(z) - g(z_0)}{z - z_0} [/mm] =
[mm] \lim_{z \to z_0}\frac{\overline{f(\overline{z})} - \overline{f(\overline{z_0})}}{z - z_0} [/mm] =
mit [mm] \overline{a}+ \overline{b}=\overline{a+b} [/mm] und a+b = [mm] \overline{\overline{a+b}} =\overline{\overline{a}+ \overline{b}}
[/mm]
[mm] \lim_{z \to z_0}\frac{\overline{f(\overline{z})-f(\overline{z})}}{\overline{\overline{z}+ \overline{z_{0}}}} [/mm] =
mit [mm] \bruch{\overline{a}}{\overline{b}} [/mm] = [mm] \overline{(\bruch{a}{b})}
[/mm]
[mm] \lim_{z \to z_0}\overline{(\frac{f(\overline{z})-f(\overline{z})}{\overline{z}+ \overline{z_{0}}})} [/mm] =
wenn z [mm] \to z_0 [/mm] dann muss auch [mm] \overline{z} \to \overline{z_0} [/mm] (stetigkeit der komplexen konjugation)
[mm] \lim_{\overline{z} \to \overline{z_0}}\overline{(\frac{f(\overline{z})-f(\overline{z})}{\overline{z}+ \overline{z_{0}}})} [/mm] =
da f holomorph und f: U [mm] \to \IC, \overline{z} \in [/mm] U gilt :
[mm] \overline{f'(\overline{z_0})} [/mm] =
[mm] g'(z_{0})
[/mm]
Die Vorausetzungen für f,g stehen ja in der Aufgabenstellung.
Ist das so richtig und vollständig?
Vielen lieben Dank!
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Du hast aus dem Minus im Nenner ein Plus gemacht. Und bei [mm]z_0[/mm] ist die 0 verschwunden.
Laß auch [mm]z \to z_0[/mm] stehen. Es gibt keinen Grund, hier mit konjugierten Elementen zu hantieren.
Ansonsten stimmt alles. Ich würde nur [mm]g'(z_0)[/mm] an den Anfang der Rechnung stellen, nicht an den Schluß. Und vielleicht wäre es übersichtlicher, die Rechnung nicht durch Kommentare zu unterbrechen, sondern diese Kommentare auf der Seite in einer Art Kommentarspalte mitzuführen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit: sei u:=Re(f) und v:=Im(f).
Sind U und V der Realteil bzw. der Imaginärteil von g, so gilt:
U(x,y)=u(x,-y) und V(x,y)=-v(x,-y).
Klar dürfte sein, dass U und V reell differenzierbar sind. Da u und v die Cauchy-Riemannschen DGLen erfüllen, trifft das auch auf U und V zu, wie man sofort nachrechnet.
FRED
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