kompl. Zahlen, Betrag Argument < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:10 Mo 02.05.2005 | | Autor: | frau-u |
Hallo,
Ich habe hier wieder eine Frage zu komplexen Zahlen. Irgendwie habe ich noch nicht ganz verstanden, wie man damit rechnet, befürchte ich.
Es geht um folgende Aufgabe:
Berechnen sie Betrag und Argument von:
1. [mm] \bruch{(1-i)^2}{1+i}
[/mm]
2. [mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{99}
[/mm]
3. [mm] (\bruch{1}{2}(1+i*\wurzel{3})^n, [/mm] n=0,1,2...
So, ein Betrag ist der Abstand r einer Zahl z vom Ursprung 0. Ein Argument ist der Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zum Ursprung.
Das habe ich nun versucht auf die erste Aufgabe anzuwenden und ich lande für den Betrag bei:
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}
[/mm]
Für das Argument bin ich leider recht ratlos.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand eventuell eine der Aufgabe vorrechnen könnte, damit ich schonmal einen Ansatzpunkt habe und mich dann mit den anderen beschäftigen kann.
Vielen Dank.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo frau-u!
Hier mal eine allgemeine Erläuterung:
Eine komplexe Zahl $z \ := \ a + i*b$ kann man auch darstellen in der Form $z \ = \ r * [mm] \left(\cos \varphi + i*\sin \varphi\right)$ [/mm] .
Dabei ist $r$ der Betrag und berechnet sich zu: $r \ = \ |z| \ = \ [mm] \wurzel{a^2+b^2}$
[/mm]
Wie Du schon geschrieben hast, handelt es sich bei dem Argument [mm] $\varphi$ [/mm] um den Winkel zur x-Achse (bzw. Realteil-Achse der Gauß'schen Zahlenebene).
Formel: [mm] $\tan \varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a}$
[/mm]
Für Deine Aufgaben mußt Du die Ausdrücke als zunächst in die Form $z \ := \ a + i*b$ überführen, z.B. durch geschicktes Erweitern mit dem Konjugierten des Nenners.
Kannst Du damit etwas weiter arbeiten?
Poste doch mal Deine Ergebnisse ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frau-u!
> Berechnen sie Betrag und Argument von:
> 1. [mm]\bruch{(1-i)^2}{1+i}[/mm]
Am besten formst du den Ausdruck so um, dass du den Real- und Imaginärteil der Zahl [mm]\frac{(1-i)^2}{1+i}[/mm] direkt ablesen kannst. Dazu beachtest du (wieder einmal), dass für eine komplexe Zahl [mm]z=\mbox{Re}(z)+i*\mbox{Im}(z) \in \IC[/mm] gilt:
[mm]z*\overline{z}=\left(\mbox{Re}(z)+i*\mbox{Im}(z)\right)*\left(\mbox{Re}(z)-i*\mbox{Im}(z)\right)
=\left(\mbox{Re}(z)\right)^2+\left(\mbox{Im}(z)\right)^2=|z|^2[/mm], wobei zu [mm] $z=\mbox{Re}(z)+i*\mbox{Im}(z)\in \IC$ [/mm] mit [m]\overline{z}=\mbox{Re}(z)-i*\mbox{Im}(z)[/m] die zugehörige konjugiert komplexe Zahl gemeint ist.
Bei der ersten Aufgabe machen wir also zunächst den Nenner reellwertig, dazu erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners und formen den Zähler so um, dass wir den Real- und Imaginärteil ablesen können:
[mm]\frac{(1-i)^2}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{1+i}*\frac{\overline{1+i}}{\overline{1+i}}
=\frac{(1-i)^2}{1+i}*\frac{1-i}{1-i}
=\frac{(1-i)^3}{1^2-\underbrace{i^2}_{=-1}}
=\frac{1^3+3*1^2*(-i)+3*1*(-i)^2+(-i)^3}{2}[/mm]
[mm]=\frac{1-3i-3+i}{2}=\frac{-2}{2}+i*\left(\frac{-2}{2}\right)
=\blue{-1}+i*(\red{-1})[/mm]
Daher folgt:
[m]\mbox{Re}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)=\blue{-1\[/m] sowie [m]\mbox{Im}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)=\red{-1}[/m]. Also ergibt sich:
[mm]\left|\frac{(1-i)^2}{1+i}\right|
=\wurzel{\left(\mbox{Re}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)\right)^2+\left(\mbox{Im}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)\right)^2}
=\wurzel{(\blue{-1})^2+(\red{-1})^2}=\wurzel{2}[/mm].
Weiter folgt (beachte, dass [m]\mbox{Re}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)=-1\not=0[/m]):
[mm]\tan(\varphi)=\frac{\mbox{Im}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)}{\mbox{Re}\left(\frac{(1-i)^2}{1+i}\right)}
=\frac{\red{-1}}{\blue{-1}}=1[/mm]
Als Kandidaten für den Winkel [mm] $\varphi \in [0,\;2\pi)$ [/mm] (im Bogenmaß!) bekommen wir hier also zwei Winkel:
[mm] $\varphi_1=\frac{\pi}{4}$, $\varphi_2=\frac{5}{4}\pi$.
[/mm]
Wenn du nun guckst, wo der Punkt [mm]P(\blue{-1};\;\red{-1})[/mm] in der Gaußschen Zahlenebene liegt (nämlich im 3en Quadranten) oder eben wegen [mm]\underbrace{\left|\frac{(1-i)^2}{1+i}\right|}_{=\wurzel{2}}*\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{=\frac{1}{2}\wurzel{2}}=1\not=\red{-1}[/mm] erkennst du, dass der gesuchte Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] hier lautet:
[mm]\varphi=\varphi_2=\frac{5}{4}\pi[/mm].
So, probierst du dich jetzt mal bitte an den anderen Aufgaben?
Viele Grüße,
Marcel
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