kompl. Zahl als Polarkoord. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 02.12.2007 | | Autor: | Waschi |
| Aufgabe | Man schreibe die folgenden komplexen Zahlen in der Polarkoordinatendarstellung [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] mit [mm] -\pi<\phi\le\pi. [/mm] Man berechne auch jeweils [mm] z^{10} [/mm] in der form x+iy
a) z=-i b) [mm] z=-1+\wurzel{3}*i [/mm] |
Hallo, ich soll diese Aufgaben lösen, ich habe aber noch nicht wirklich verstanden wie ich bei sowas vorgehen muss.
Bei a) habe ich analog zu einer Beispielaufgabe, die ich hatte für z=i einfach nur die Vorzeichen getauscht und dort als Ergebnis [mm] z=-1*e^{-i*\bruch{\pi}{2}} [/mm] und für [mm] z^{10}=-1^{10}*e^{-i*\bruch{\pi}{2}*10}=-1*e^{-i*5*\pi}=-e^{-i*\pi}
[/mm]
Habe ich hier alles richtig gelöst? Kann mir vielleicht jemand bei Aufgabe b) erklären, wie ich bei sowas genau vorgehen muss, da ich es nicht verstanden, sondern nur von einer Beispielaufgabe transferiert habe.
Viele Grüße
Waschi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Waschi!
Der Betrag $r \ = \ |z| \ = \ |x+y*i| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] eine komplexen Zahl ist immer positiv (oder höchstens 0).
Diesen berechnest Du wie folgt:
[mm] $$|z_1| [/mm] \ = \ |-i| \ = \ |0+(-1)*i| \ = \ [mm] \wurzel{0^2+(-1)^2} [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$|z_2| [/mm] \ = \ [mm] \left|-1+\wurzel{3}*i\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(-1)^2+\left( \ \wurzel{3} \ \right)^2} [/mm] \ = \ 2$$
Für den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] verwenden wir folgende Formel. Dabei sollte man sich aber immer anhand der Gauß'schen Zahlenebene klar machen, in welchem Quadranten die entsprechende komplexe Zahl liegt:
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$$
[/mm]
Das bedeutet bei der Aufgabe b.):
[mm] $$\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{-1} [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{3}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ [mm] \varphi' [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{3}$$
[/mm]
Da die komplexe Zahl [mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] -1+\wurzel{3}*i$ [/mm] im 3. Quadranten liegt, muss der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] im Bereich [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] \ < \ [mm] \varphi [/mm] \ < \ [mm] \pi$ [/mm] liegen:
[mm] $$\varphi [/mm] \ = \ [mm] \pi+\varphi' [/mm] \ = \ [mm] \pi-\bruch{\pi}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\pi$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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