kompakte mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 03.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe schwierigkeiten mit kompakten mengen.also die defintion besagt ja erst mal nur dass eine menge kompakt ist wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
jetzt habe ich hierzu folgende menge gefunden:
M:={ [mm] (x,y)\in\IR^2:x^2+y^2 \le [/mm] 1 x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] y=\wurzel{|x|}*sin(1/x) [/mm] }(zz.kompakt oder nicht?)ich habe mir versucht die menge vorzustellen.wäre das ein kreis mit radius 1 und den nullpunkt nicht mitenthaltend?somit ist die menge nicht abgeschlossen aber schon beschränkt oder red ich jetzt völligen blödsinn??
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 04.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
kann mir denn keiner weiter helfen??schade:((
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe schwierigkeiten mit kompakten mengen.also die
> defintion besagt ja erst mal nur dass eine menge kompakt
> ist wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
> jetzt habe ich hierzu folgende menge gefunden:
> [mm]M:= \{(x,y)\in\IR^2:x^2+y^2 \le1 , x \not= 0 ,y=\wurzel{|x|}*sin(1/x)\}[/mm] (zz.kompakt oder nicht?)ich habe
> mir versucht die menge vorzustellen.wäre das ein kreis mit
> radius 1 und den nullpunkt nicht mitenthaltend?somit ist
> die menge nicht abgeschlossen aber schon beschränkt oder
> red ich jetzt völligen blödsinn??
Richtig ist: Die Menge liegt vollständig in der Kreisscheibe mit Radius 1 (ohne Mittelpunkt) und ist daher auf jeden Fall beschränkt.
Allerdings ist die Menge gegeben als die Punkte mit [mm] $y=\wurzel{|x|}*sin(1/x)$, [/mm] also die Punkte, die auf dem Graphen dieser Funktion liegen. Wenn du dir den aufmalst, siehst du, dass er in der Nähe des Nullpunkts wild hoch und runter oszilliert. Da ist es nicht so einfach festzustellen, ob das Ding abgeschlossen ist.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, heranzugehen.
Die Menge [mm] $M\subset\IR^2$ [/mm] ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm] $\IR^2 \backslash [/mm] M$ offen ist.
Anschaulich: M ist abgeschlossen, wenn ihr Rand ganz dazu gehört. Randpunkte sind solche, für die in jeder Umgebung sowohl Punkte aus M als auch Punkte außerhalb von M liegen.
M ist abgeschlossen, wenn es zu jedem [mm] $x\not\in [/mm] M$ ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] gibt, sodass alle Punkte in einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von x auch außerhalb von M liegen.
Die Menge [mm] $M\subset\IR^2$ [/mm] ist abgeschlossen, wenn zu jeder konvergenten Folge [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $x_n\in [/mm] M$ auch der Grenzwert der Folge zu M gehört.
Wenn du dir eines dieser Kriterien besser vorstellen kannst als die anderen, dann versuche, damit weiterzukommen.
Viele Grüße
Rainer
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