kompakte matrix < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 21.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi hab hier eine aufgabe zu bearbeiten, wo ich nicht so recht weiß was die grundidee ist
[Dateianhang nicht öffentlich]
kann mir jmd da helfen bitte?
danke 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:03 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie verhält sich das mit der lorentzmatrix?
> was heißt eignt. der ausdruck in der klammer?
> hat das eine physikalische entsprächung wenn ich [mm]M*B^T*B=B[/mm]
Das heisst es gerade nicht, sondern $M [mm] \cdot [/mm] B [mm] \cdot M^T [/mm] = B$.
Und ja, es hat eine physikalische Entsprechung. Es geht naemlich um die ![[]](/images/popup.gif) Raumzeit: die ersten drei Komponenten eines Vektors aus dem [mm] $\IR^4$ [/mm] beschreiben einen Punkt im Raum (der [mm] $\IR^3$), [/mm] und die vierte Komponente einen Zeitpunkt (der [mm] $\IR$ [/mm] wird als ''Zeitstrahl'' aufgefasst).
(Soviel wusstest du vermutlich schon?)
Auf der Raumzeit gibt es nun eine symmetrische Bilinearform, [mm] $\langle [/mm] (x, y, z, t), (x', y', z', y') [mm] \rangle)_B [/mm] := x x' + y y' + z z' - t t'$ -- also fast wie das Standard-Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^4$, [/mm] nur dass vor der Zeit eine -1 steht.
Die Grammatrix zu dieser Biliearform ist $B$: es gilt also [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle_B [/mm] := [mm] v^T [/mm] B w$ fuer alle $v, w [mm] \in \IR^4$.
[/mm]
Bei dem Standardskalarprodukt hat die Transposition nun eine bestimmte Rolle: es gilt [mm] $\langle [/mm] A v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, [mm] A^T [/mm] w [mm] \rangle$. [/mm] Allgemein heisst [mm] $A^T$ [/mm] die Adjungierte von $A$ bezueglich [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$.
[/mm]
Bei unserer Bilinearform [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle_B$ [/mm] gibt es auch eine Adjungierte, allerdings ist diese $B [mm] A^T [/mm] B$: es ist naemlich [mm] $\langle [/mm] v, B [mm] A^T [/mm] B w [mm] \rangle_B [/mm] = [mm] v^T [/mm] B B [mm] A^T [/mm] B w = [mm] v^T A^T [/mm] B w = (A [mm] v)^T [/mm] B w = [mm] \langle [/mm] A v, w [mm] \rangle_B$ [/mm] (da [mm] $B^2$ [/mm] die Einheitsmatrix ist).
Die Lorentzgruppe ist also genau die Gruppe der Matrizen $A$, die multipliziert mit der Adjungierten bzgl. [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle_B$ [/mm] die Identitaet ergibt, da $A B [mm] A^T [/mm] B = [mm] E_4$ [/mm] aequivalent zu $A B [mm] A^T [/mm] = B$ ist. Also gilt [mm] $A^{-1} [/mm] = B [mm] A^T [/mm] B$.
Dies sind genau die Matrizen, die [mm] $\langle [/mm] A v, A w [mm] \rangle_B [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, w [mm] \rangle_B$ [/mm] fuer alle $v, w [mm] \in \IR^4$ [/mm] erfuellen! Also genau die Transformationen des [mm] $\IR^4$, [/mm] die [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle_B$ [/mm] erhalten!
Und man kann noch mehr sagen:
Beim Standardskalarprodukt bilden die Spalten einer orthogonalen Matrix $A = [mm] (a_1, \dots, a_n)$ [/mm] ja gerade eine Orthonormalbasis, es gilt also [mm] $\langle a_i, a_j \rangle [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j, \\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}$
[/mm]
Jetzt kann man sich natuerlich fragen: gilt bei den Matrizen in der Lorentzgruppe aehnliches? Und tatsaechlich, $A = [mm] (a_1, \dots, a_4)$ [/mm] liegt genau dann in der Lorentzgruppe $O(3, 1, [mm] \IR)$, [/mm] wenn [mm] $\langle a_i, a_j \rangle_B [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j < 4, \\ -1 & \text{falls } i = j = 4, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$ [/mm] gilt! Die Spalten bilden also "fast" (bis auf das -1) eine "Orthonormalbasis" des [mm] $\IR^4$ [/mm] bzgl. [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle_B$.
[/mm]
Beweis: Es ist [mm] $A^T [/mm] B A$ die Matrix, an derem $(i, j)$-Eintrag [mm] $\langle v_i, v_j \rangle_B$ [/mm] steht. Nun gilt $A B [mm] A^T [/mm] = B [mm] \Leftrightarrow A^{-1} [/mm] = B [mm] A^T [/mm] B [mm] \Leftrightarrow A^T [/mm] B A = B$, womit $A$ genau dann in der Lorentzgruppe liegt, wenn die oben genannte Bedingung erfuellt ist. q.e.d.
Mehr dazu findest du uebrigens hier und hier.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 23.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi okay vielen dank für die hilfreiche und gute erklärung
echt interessant, ist sie nun aber kompakt?
wir vermuten nein, können es aber nicht begründen :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hi okay vielen dank für die hilfreiche und gute erklärung
>
> echt interessant, ist sie nun aber kompakt?
> wir vermuten nein, können es aber nicht begründen :P
Wenn schon dann hapert es an der Beschraenktheit.
Schaut euch doch mal folgende Matrix an:
[mm] $A_{a,c} [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & c \\ 0 & 0 & c & a }$.
[/mm]
Diese Matrix ist genau dann in $O(3, 1, [mm] \IR)$, [/mm] wenn [mm] $a^2 [/mm] - [mm] c^2 [/mm] = 1$ ist. (Wenn ich mich nicht vertan hab...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Do 23.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi okay
das stimmt was du sagst, falls [mm] a^2-c^2=1 [/mm] dann ist die matrix ein element der lorentzgruppe
wenn ich nun den abstand zur Nullmatrix berechne bekomme ich:
[mm] \wurzel{1^2+1^2+2*(a^2+c^2)}
[/mm]
ähm ganz naiv gefragt, was soll das problem sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | Phecda |
weil wenn ich dann bsp für a die gleichung [mm] a^2-c^2=1 [/mm] einsetze und mein c über alle grenzen streben kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> das stimmt was du sagst, falls [mm]a^2-c^2=1[/mm] dann ist die
> matrix ein element der lorentzgruppe
Das ist aequivalent zu $a = [mm] \pm \sqrt{1 + c^2}$. [/mm] Zu jedem $c$ gibt es also ein $a$ (bzw. genau zwei).
> wenn ich nun den abstand zur Nullmatrix berechne bekomme
> ich:
> [mm]\wurzel{1^2+1^2+2*(a^2+c^2)}[/mm]
> ähm ganz naiv gefragt, was soll das problem sein?
Wenn du $c$ gross werden laesst, was passiert?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | Phecda |
ja genau wenn c über alle grenzen gegen unendlich strebt, dann auch der ganze abstand ...? also unbeschränkt
cool danke
bist echt n schlaues kerlchen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ja genau wenn c über alle grenzen gegen unendlich strebt,
> dann auch der ganze abstand ...? also unbeschränkt
Genau!
> cool danke
> bist echt n schlaues kerlchen ;)
Danke ;)
LG Felix
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