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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 01.12.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo, ich soll zeigen, dass wenn T ein Hausdorff-Raum ist, dass dann jede kompakte Teilmenge V von T abgeschlossen ist, und wieder jede abgeschlossene Teilmenge W von V kompakt ist.
Der Satz kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen gilt hier wohl nicht, denn sonst wäre die Aufgabe ja zu einfach. Gilt der Satz nur im [mm] \IR^n [/mm] oder erfüllt der [mm] \IR^n [/mm] gerade ein paar Eigenschaften sodass kompakt [mm] \gdw [/mm] beschränkt und abgeschlossen?
Zu der Aufgabe:
Sei T ein Hausdorff-Raum, dies bedeutet, dass es zu je 2 verschiedenen x,y [mm] \in [/mm] T disjunkte [mm] \varepsilon-Umgebungen: U_{\varepsilon_{1}}(x) [/mm] und [mm] U_{\varepsilon_{2}}(y) [/mm] gibt.
V kompakt bedeutet, dass zu jeder offenen Überdeckung von V eine endliche Teilüberdeckung gewählt werden kann, die V bereits überdeckt.
Zu zeigen ist jetzt, dass T/V offen ist. Ich weiß leider nicht, wie ich die Trennungseigenschaft von T hier benutzen könnte.
Könnt ihr mir da helfen?
Vielen Dank im Voraus
Okay, ich stand ziemlich auf dem Schlauch, habe es doch geschafft. Weiß nicht, wie ich die Aufgabe auf bereits beantwortet stellen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
du könntest deine Lösung zur eigenen Kontrolle und zur Freude später Fragenden auch gerne präsentieren.
MFG,
Gono.
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