kommutative gruppen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 So 10.05.2009 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | | [mm] PSL_{2}(2)\cong S_{3} [/mm] |
Sind zwei nicht kommutative Gruppen, die die gleich Anzahl an Elementen haben isomorph zueinander?
ich hab das irgendwo gelesen und wollte gerne wissen ob das stimmt und warum!
danke :)
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> [mm]PSL_{2}(2)\cong S_{3}[/mm]
> Sind zwei nicht kommutative Gruppen,
> die die gleich Anzahl an Elementen haben isomorph
> zueinander?
> ich hab das irgendwo gelesen und wollte gerne wissen ob das
> stimmt und warum!
Hallo,
es stimmt nicht.
Bereits für die Ordnung 8 gibt es zwei nichtkommutative Gruppen.
Unter der ersten der beiden Gruppen da oben kann ich mir nichts vorstellen. Wenn sie jedoch 6 Elemente hat und nicht abelsch ist, dann ist sie isomorph zu [mm] S_3, [/mm] denn es gibt nur die eine nichtabelsche Gruppe dieser Ordnung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 10.05.2009 | | Autor: | elba |
die erste gruppe ist die spezielle lineare gruppe mit n=2 und [mm] k=\IF_{2}. [/mm] warum ist diese denn isomorph zu [mm] S_{3]} [/mm] wenn sie 6Elemente enthält und abelsch ist??
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> die erste gruppe ist die spezielle lineare gruppe mit n=2
> und [mm]k=\IF_{2}.[/mm] warum ist diese denn isomorph zu [mm]S_{3]}[/mm] wenn
> sie 6Elemente enthält und abelsch ist??
Hallo,
wenn diese Gruppe abelsch ist, ist sie natürlich nicht isomorph zu [mm] S_3, [/mm] denn [mm] S_3 [/mm] ist ja nicht abelsch...
Hast Du Dir Deine gruppe denn jetzt mal genau angeguckt? Hat sie 6 Elemente? Ist sie nichtabelsch? Habt Ihr in der Vorlesung schon die Gruppen der Ordnung 6 untersucht?
Dann kannst Du Dich des Ergebnisses, daß es nur eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 gibt, bedienen. Sonst nicht, es sei denn, Du zeigst es im Vorübergehen
Ansonsten überlegst Du Dir halt einen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen. (Definieren und dann zeigen, daß es einer ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 11.05.2009 | | Autor: | elba |
ich weiß leider nicht wie man die elemente dieser gruppe zeigt. ich weiß, dass es 6 sind aber warum ist mir leider ein rätsel.
Wie fange ich denn an, die elemente einer gruppe zu bestimmen??
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> ich weiß leider nicht wie man die elemente dieser gruppe
> zeigt. ich weiß, dass es 6 sind aber warum ist mir leider
> ein rätsel.
> Wie fange ich denn an, die elemente einer gruppe zu
> bestimmen??
Hallo,
achso, Du weißt überhaupt nicht, was die
>>> die spezielle lineare gruppe mit n=2 und $ [mm] k=\IF_{2}. [/mm] $
ist! Na, dann kann man schlecht irgendeine Isomorphie zeigen.
Das ist eine Untergruppe der 2x2-Matrizen mit Einträgen aus dem [mm] \IF_{2}.
[/mm]
Finde jetzt heraus, welche Eigenschaften die Matrizen der speziellen linearen Gruppe haben müssen.
Dann kannst Du im Prinzip, wenn Dir nichts anderes einfällt, sämtliche 2x2-Matrizen mit Einträgen aus dem [mm] \IF_{2} [/mm] listen (es sind endlich viele), und
sie dann einzeln durchtesten, ob sie diese Eigenschaften haben oder nicht.
Gruß v. Angela
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