kommut. Monoid - wann Gruppe? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:14 Do 02.12.2004 | | Autor: | praetorA |
Beitrag crossposted at:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=33444
Behauptung: Jedes kommutative Monoid mit unendlich vielen invertierbaren Elementen ist eine Gruppe
Ja, und das möcht ich gern zeigen. Was ich bis jetzt mal aufgestellt habe ist folgendes:
sei (A,°) das Monoid, das kommutativ ist, so gilt
| ker A | = [mm] \infty
[/mm]
es existiert n aus A mit n°a=a für alle a aus A
zu zeigen ist eigentlich nur noch, dass jedes a aus A invertierbar ist.
nur wie?
mein ansatz bisher wäre gewesen, dass es ja unendlich viele [mm] x_i [/mm] aus A gibt die invertierbar sind, und es folglich unvermeidbar ist, dass man a als
[mm] a=x_1°x_2°....°x_i°x_j^{-1}°..... [/mm] darstellen kann.
nur das kann ich auch nicht zeigen.
Hoffe jemand kann helfen!
lg, Praetor
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Hallo!
Also, nach der Definition von "Monoid", die ich gelernt habe (Menge mit assoziativer Verknuepfung, die ein neutrales Element besitzt) ist die Aussage falsch... z.B. fuer [mm] $(\IR [/mm] , [mm] \cdot)$ [/mm] oder $(K[X], [mm] \cdot)$ [/mm] wo $K$ ein unendlicher Koerper ist.
Also muesst ihr eine andere Definition von Monoid haben... welche ist das?
Und was soll bitte der "Kern" eines Monoids sein?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Fr 03.12.2004 | | Autor: | praetorA |
* Monoid ist ein Verknüpfungsgebilde mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element.
* Der Kern eines Verknüpfungsgebildes ist jene Teilmenge, die invertierbar ist. (d.h. für die gilt [mm] a^{-1} \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] a [mm] \in [/mm] M )
Habe mittlerweile auch die Vermutung. dass es ein Gegenbeispiel geben könnte.
könntest du mir bitte erläutern, warum (R,*) keine Gruppe ist aber ein Monoid?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Ah, verstehe... das ist bei euch der Kern. Alles klar. 
Nun, die reellen Zahlen bilden bezüglich der Verknüpfung [mm] "$\cdot$" [/mm] einen Monoid, denn die Verknüpfung ist assoziativ und $1 [mm] \in \IR$ [/mm] ist das neutrale Element, denn für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: $1 [mm] \cdot [/mm] x = x$.
Kommutativ ist der Monoid auch - und invertierbar sind alle Elemente außer der 0, also unendlich viele. Aber die 0 ist nunmal nicht invertierbar und darum ist [mm] $(\IR, \cdot)$ [/mm] KEINE Gruppe (es gibt zwei idempotente Elemente, 1 und 0 und das kann für eine Gruppe nicht sein).
Ebenso der Polynomring über K: die Einheitengruppe ist der Körper selbst (die konstanten Polynome), also das, was Du "Kern" nennen würdest - und für unendliche Körper sind das unendlich viele Elemente.
Trotzdem ist jedes Polynom vom Grad größer 0 nicht invertierbar...
Lars
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