kolpexe Zahl - eulersche Form < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Dave81 |
Hallo
Muss ziemlich schnell gehen, da ich gleich meine Klausur schreibe ich aber nochmal alles wiederholen wollte:
Aufgabe:
Für welche komplexen Zahlen z gilt [mm] z^{3}= [/mm] 64j
Lösung: -4j ; 4 [mm] (-1)^{\bruch{1}{6}}; [/mm] 4 [mm] (-1)^{\bruch{5}{6}}
[/mm]
Warum?
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dave,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte in Zukunft nicht so kurzfristige "Forderungen" und dann bitte mit eigenen Lösungsansätzen ...
Variante 1:
[mm] $z^3 [/mm] \ = \ [mm] (a+i*b)^3 [/mm] \ = \ [mm] a^3 [/mm] + i*3a^2b + [mm] 3ab^2*i^2 [/mm] + [mm] i^3*b^3 [/mm] \ = \ [mm] \red{\left(a^3-3ab^2\right)} [/mm] + i* [mm] \blue{\left(3a^2b-b^3\right)} [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] + i* [mm] \blue{64}$
[/mm]
Nun dieses Gleichungssystem lösen:
[mm] $\red{\left(a^3-3ab^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
[mm] $\blue{\left(3a^2b-b^3\right)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{64}$
[/mm]
Variante 2:
[mm] $z^3 [/mm] \ = \ 64i$ [mm] $\gdw$ [/mm] $z \ = \ [mm] \wurzel[3]{64i} [/mm] \ = \ [mm] 4*\wurzel[3]{i} [/mm] \ = \ [mm] 4*\left[\cos\left(\bruch{\varphi + k*2\pi}{3}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi + k*2\pi}{3}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0 \ ... \ 2$ und [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] wegen [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{0} [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Roadrunner |
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Kleine Ergänzung:
MOIVRE'scher Satz [mm]z^n \ = \ (a+i*b)^n \ = \ r^n*\left[\cos\left(n*\varphi\right) + i*\sin\left(n*\varphi\right)\right][/mm]
[mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Dave81 |
aaahhh so war das!!! ich danke dir für die schnell Hilfe!
Ich hoffe ich komme in der Klausur klar!
Dieses Komplexe Zahlen-Zeug ist dabei noch das einfachste!
Gruß, bis demnächst!
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