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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:15 Sa 25.04.2015 | | Autor: | forestdumb |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\IK$ [/mm] ein beliebiger Körper.Zeigen sie die folgenden Aussagen.Dokumentieren sie dabei jeden ihrer Schritte dabei genau:
$i) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IK$ [/mm] mit$ a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b$ gilt $ : ( [mm] a+b^{-1}) \cdot{}(b-a^{-1})=ab-(ab)^{-1}$
[/mm]
$ii) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IK$ [/mm] mit$ a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b$ gilt $ : [mm] (ab+1)\cdot{}(a^{-1}-b^{-1})=(a^{-1}-a)-(b^{-1}-b)$ [/mm] |
bew.:
$i) ( [mm] a+b^{-1}) \cdot{}(b-a^{-1}) \underbrace{=}_{(1)} ab+-aa^{-1}+b^{-1}b+-(ab)^{-1} \underbrace{=}_{(2)} ab+-1+1+-(ab)^{-1}\underbrace{=}_{(3)} [/mm] = [mm] ab-(ab)^{-1}$
[/mm]
$(1)$ dort habe ich die klammern ausmultipliziert
$(2)$ dort habe ich benutzt,dass jedes element in einem körper ein inverses element besitzt
$(3)$ hier habe ich einfach die einsen weg gekürtzt
$ii)$
[mm] $(ab+1)\cdot{}(a^{-1}-b^{-1})\underbrace{=}_{(1)}aba^{-1}- abb^{-1}+a^{-1}-b^{-1}\underbrace{=}_{(2)}b- a+a^{-1}-b^{-1}\underbrace{=}_{(3)}(a^{-1}-a)-(b^{-1}-b)$
[/mm]
$(1)$ hier hab ich die klammern ausmultipliziert
$(2)$ da jedes element in einem körper ein inverses besitzt und die multiplikation in einem körper kommutativ(abelsch) ist bzgl. der multiplikation ohne der $0$ da $a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] b $
$(3)$ kommutativität der addition
ich hoffe das ist okay
danke für hilfe ! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\IK[/mm] ein beliebiger Körper.Zeigen sie die folgenden
> Aussagen.Dokumentieren sie dabei jeden ihrer Schritte dabei
> genau:
>
> [mm]i) \forall a,b \in \IK[/mm] mit[mm] a \neq 0 \neq b[/mm] gilt [mm]: ( a+b^{-1}) \cdot{}(b-a^{-1})=ab-(ab)^{-1}[/mm]
>
>
> [mm]ii) \forall a,b \in \IK[/mm] mit[mm] a \neq 0 \neq b[/mm] gilt [mm]: (ab+1)\cdot{}(a^{-1}-b^{-1})=(a^{-1}-a)-(b^{-1}-b)[/mm]
>
> bew.:
>
> [mm]i) ( a+b^{-1}) \cdot{}(b-a^{-1}) \underbrace{=}_{(1)} ab+-aa^{-1}+b^{-1}b+-(ab)^{-1} \underbrace{=}_{(2)} ab+-1+1+-(ab)^{-1}\underbrace{=}_{(3)} = ab-(ab)^{-1}[/mm]
>
> [mm](1)[/mm] dort habe ich die klammern ausmultipliziert
generell ist das nicht ganz schlecht, aber es fehlt noch etwas. Ergänzungen
sind auch noch notwendig, aber dazu sage ich später etwas, erstmal:
Du unterschlägst hier nämlich die Anwendung des Assoziativgesetzes der
Addition - bist Du Dir dessen bewußt?
Ich schreibe *das Ausmultiplizieren* mal ganz ausführlich hin:
$(a+b)*(c+d)=((a+b)*c)+((a+b)*d)=(a*c+b*c)+(a*d+b*d)=...$
(Falls es unklar ist: Setze mal [mm] $x:=a+b\,$ [/mm] und rechne damit los...)
Vielleicht habt ihr irgendwann *das allgemeine Assoziativgesetz* gelernt;
dann dürftest Du direkt so rechnen, wie Du es oben getan hast. Aber einer
Erwähnung ist es auf jeden Fall Wert.
Nebenbei: Alternativ kannst Du auch (setze dazu, falls es unklar ist, mal
[mm] $y:=c+d\,$)
[/mm]
[mm] $(a+b)*(c+d)=\red{(}a*(c+d)\red{)}+\red{(}b*(c+d)\red{)}=...$
[/mm]
rechnen. (Und ja: Manche Klammern wirken hier wegen *Punkt vor Strich*
'überflüssig', ich würde sie aber stehen lassen im Hinblick auf die weitere
Rechnung!)
> [mm](2)[/mm] dort habe ich benutzt,dass jedes element in einem
> körper ein inverses element besitzt
>
> [mm](3)[/mm] hier habe ich einfach die einsen weg gekürtzt
>
> [mm]ii)[/mm]
>
> [mm](ab+1)\cdot{}(a^{-1}-b^{-1})\underbrace{=}_{(1)}aba^{-1}- abb^{-1}+a^{-1}-b^{-1}\underbrace{=}_{(2)}b- a+a^{-1}-b^{-1}\underbrace{=}_{(3)}(a^{-1}-a)-(b^{-1}-b)[/mm]
>
> [mm](1)[/mm] hier hab ich die klammern ausmultipliziert
>
> [mm](2)[/mm] da jedes element in einem körper ein inverses besitzt
> und die multiplikation in einem körper kommutativ(abelsch)
> ist bzgl. der multiplikation ohne der [mm]0[/mm] da [mm]a \neq 0 \neq b[/mm]
>
> [mm](3)[/mm] kommutativität der addition
>
>
> ich hoffe das ist okay
>
> danke für hilfe ! :)
Jetzt schauen wir mal ganz genau drauf, und wir gehen mal davon aus, dass
Du Dir die Klammern sparen darfst wegen Assoziativgesetz:
$ i) ( [mm] a+b^{-1}) \cdot{}(b-a^{-1}) \underbrace{=}_{(1)} ab+-aa^{-1}+b^{-1}b+-(ab)^{-1}$ [/mm]
Hier machst Du doch, soweit ich das sehe, was anderes: Du schreibst
erstmal
[mm] $(a+b^{-1})*(b-a^{-1})=(a+b^{-1})*(b+(-a^{-1}))=\ldots$
[/mm]
so werdet ihr sicher "Minusrechnen" definiert haben. Ansonsten mußt Du
doch noch mehr zu Deiner Rechnung sagen!
Dann müßtest Du erstmal schreiben
[mm] $\ldots=a*b+a*(-a^{-1})+b^{-1}*b+b^{-1}*(-a^{-1})=\ldots$
[/mm]
Jetzt gibt es Rechenregeln der Art $x*(-y)=(-x)*y=-(x*y)$ für $x,y [mm] \in \IK$, [/mm] diese
wenden wir an. Ebenso [mm] $b^{-1}*b=1_{\IK}\;(=(b*b^{-1}))$
[/mm]
[mm] $\ldots=a*b+(-(a*a^{-1}))+1_{\IK}+(-(b^{-1}*a^{-1}))=a*b+(-1_{\IK}+1_{\IK})+b^{-1}*a^{-1}$
[/mm]
Und nun wirst Du fertig, wenn Du [mm] $-1_{\IK}+1_{\IK}=0_{\IK}$ [/mm] und [mm] $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ [/mm] anwendest -
gerade bei der letzten Gleichheit ist aber die Frage, ob ihr die schonmal
bewiesen habt? Sie gilt so übrigens auch in jeder Gruppe!
So, erstmal soviel dazu. Ich schreibe Dir das jetzt einmal alles ganz ausführlich
hin, einfach, damit Du mal siehst, wieviel da eigentlich eingeht:
Es gilt (mit ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript)
[mm] $(a+b^{-1})*(b-a^{-1})=(a+b^{-1})*(b+(-a^{-1}))$ [/mm] (siehe Kommentar vor Bemerkung 2.2)
[mm] $=(ab+a*(-a^{-1}))+(b^{-1}b+b^{-1}(-a^{-1}))$ [/mm] (wegen K.6 in Definition 2.1)
[mm] $=\Bigg(\Big(ab+a*(-a^{-1})\Big)+b^{-1}*b\Bigg)+b^{-1}(-a^{-1})$ [/mm] (K.2: Assoz. der Add.)
[mm] $=\Big(ab+\big(a*(-a^{-1})+b^{-1}*b\big)\Big)+b^{-1}(-a^{-1})$ [/mm] (K.2: Assoz. der Add.)
[mm] $=\Big(ab+\big(a*(-a^{-1})+1_{\IK}\big)\Big)+b^{-1}*(-a^{-1})$ [/mm] (K.5 und K.1; oder K.5 und Satz 2.4, 3.)
[mm] $=\Big(ab+\big(-(a*a^{-1})+1_{\IK}\big)\Big)+b^{-1}*(-a^{-1})$ [/mm] (Satz 2.4, 5.)
[mm] $=\Big(ab+\big(-1_{\IK}+1_{\IK}\big)\Big)+b^{-1}*(-a^{-1})$ [/mm] (K.5)
[mm] $=(\underbrace{ab+0_{\IK}}_{=ab \text{ wegen K.3}})+b^{-1}(-a^{-1})$ [/mm] (K.5 und K.1: Komm. der Add.)
[mm] $=ab+(-(b^{-1}a^{-1}))$ [/mm] (Satz 2.4, 5.)
[mm] $=ab+(-(ab)^{-1})$ [/mm] (Satz 2.4, 6.)
[mm] $=ab-(ab)^{-1}$ [/mm] (siehe Kommentar vor Bemerkung 2.2; also "Definition von x-y:=x+(-y)")
Das wäre auf jeden Fall eine Möglichkeit, das alles ganz detailliert und
penibel aufzuschreiben. Man kann das etwas verkürzen, indem man halt
nicht immer alles einzeln macht, sondern zum Beispiel mehrmaliges Anwenden
eines Rechengesetzes nur einmal erwähnt (bei mir halt direkt von der
zweiten in die 4. Zeile geht) und zum Bsp. das Assoziativgesetz in seiner
allgemeinen Version, wenn es bekannt ist, anwendet (dann brauchen wir
sowas wie Zeile 3 und Zeile 4 gar nicht bzw. sparen uns dort fast alle
Klammern - fast, weil etwa
[mm] $...+(-a^{-1})$
[/mm]
dennoch geschrieben werden sollte).
Aber ich habe es hier wirklich mal ganz extrem ausführlich vorgerechnet
(was nicht heißt, dass ich nicht vielleicht doch an der ein oder anderen
Stelle noch *geschludert* haben könnte - ich habe aber versucht, das zu
vermeiden).
Btw.: Mach Dir bitte auch unbedingt klar, dass es erstmal gar nicht so trivial
ist, dass etwa
$-a$ (das additiv Inverse zu $a$)
und
[mm] $(-1_{\IK})*a$
[/mm]
das gleiche ist - letzteres ist das Produkt der Elemente [mm] $(-1_{\IK}) \in \IK$ [/mm] und [mm] $a\,.$
[/mm]
Dabei ist [mm] $-1_{\IK}$ [/mm] additiv invers zu [mm] $1_{\IK}\,.$
[/mm]
Bzw. besser gesagt: Der Inhalt von Satz 2.4, 5. ist nichttrivial:
[mm] $\bullet$ [/mm] $-(x*y)$ ist per Definitionem erstmal das additiv Inverse zu $x*y$
[mm] $\bullet$ [/mm] $x*(-y)$ ist per Definitionem erstmal einfach nur das Produkt der Elemente [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $-y\,$ ($-y\,$ [/mm] ist das additiv Inverse zu [mm] $y\,$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $(-x)*y$ ist per Definitionem erstmal einfach nur das Produkt der Elemente [mm] $-x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ ($-x\,$ [/mm] ist das additiv Inverse zu [mm] $x\,$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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wir haben das asoziativ gesetzt bewiesen und die minus auch +(-1) definiert.
habe ich denn ii) richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wir haben das asoziativ gesetzt bewiesen
na, es geht eher darum, dass ihr das allgemeine Assoziativgesetz bewiesen
habt. D.h. bei einer Addition von endlich vielen Summanden kann man die
Klammern einfach weglassen, weil es am Ergebnis der Rechnung nichts
ändert. Du bräuchtest das hier nur für speziell 4 Summanden.
> und die minus auch
> +(-1) definiert.
> habe ich denn ii) richtig gemacht?
Auch die i) hattest Du ja nicht falsch. Die Frage ist halt, ob es für Euren
Korrektor/Dozent ausführlich genug ist. Auf jeden Fall fehlt bei Dir schon
der Hinweis, dass Du überhaupt das Assoziativgesetz benutzt hast, obwohl
Du das ja auch benutzt.
Gruß,
Marcel
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