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hi,
wie bereits angedeutet, bin ich analysis legastheniker und suche nach einem kochrezept für die ermittlung von extremwerten.
ich versteh das ja alles mit den partiellen ableitungen und so weiter, jedoch gehts dann schon bei der nullstellenbestimmung los.
und zwar gibt es aufgaben, bei denen man die nullstellen nach x bzw. y auflöst und gut ist. wobei es dort für jedes x und y jeweils mehrere nullstellen geben kann. mir ist hier total unklar, wann ich "sehe", dass es nach dem auflösen mehrere lösungen gibt.
dann gibt es aber noch aufgaben, wo die nullstellen derart bestimmt werden, dass in der 1. ableitung von f(x,y) nach x erst nach y aufgelöst wird und man y in das ergebnis der 1. ableitung von f(x,y) nach y einsetzt.
ich erkläre mir das dadurch, dass es in den ableitungen 2 unbekannte gibt, aber das allein kann ja noch keine erklärung sein.
ich habe hier mal 2 aufgaben als beispiele notiert, die zu der klasse der nullstellen-"patterns" gehören, die ich ich nicht verstehe:
Bestimmen sie die extremwerte/sattelpunkte der funktion:
1)
f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] - y - 4x + [mm] 1/2y^2 [/mm] - 1
2)
f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] - 6xy - 8x + [mm] 4y^2
[/mm]
da ich das mit der nullstellenbestimmung schon nicht so sicher nachvollziehen kann, bin ich natürlich machtlos, die eigentlichen extremwerte zu bestimmen :(
falls jemand hints, einsichtige beispiele, links o.ä. hat, wäre ich sehr dankbar.
gruss,
markus
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Hi!
Okay, ein Prof. von mir sagt zum Extremaberechnen immer: "Leiten Se ap, setzen Se null, dann ham Se et!". Genau nach dem Schema geht's immer! In Deinem Beispiel Nummer eins ist das ganz leicht, einfach Ableiten, Nullsetzen, Auflösen, fertig:
[mm]f(x,y) = x^{3}-y-4x+\bruch{1}{2}y^{2}-1[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-4=0
[/mm]
[mm] \gdw 3x^{2}=4
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}=\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{\bruch{4}{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-1+y=0
[/mm]
[mm]\gdw y=1[/mm]
Beispiel Nummer zwei ist ein wenig schwieriger, da hier beim Ableiten Variablen "übrig" bleiben. Leitest Du z.B. nach x ab, bleibt ein Ausdruck übrig, der y noch enthält. In diesem Fall mußt Du ein lineares Gleichungssystem lösen, um die Extrema (genauer: Stationärpunkte) zu finden. Dies machst Du, indem Du die beiden partiellen Ableitungen erstmal bildest, dann einen Ausdruck nach einer Variablen auflöst und dies dann für diese Variable in der anderen Ableitung einsetzt:
[mm]f(x,y)=x^{2}-6xy-8x+4y^{2}[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2x-6y-8=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-6x+8y=0
[/mm]
[mm]\gdw 8y=6x[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{3}{4}x
[/mm]
Dann setzt Du dieses y in die Ableitung nach x ein:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2x-6y-8=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\partial f}{\partial x}=2x-6(\bruch{3}{4}x)-8=0
[/mm]
[mm] \gdw x-\bruch{9}{2}x-8=0
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{7}{2}x=8
[/mm]
[mm] \gdw x=-\bruch{16}{7}
[/mm]
Damit hast Du Dein x, welches Du nun wieder einsetzen kannst, um y 'rauszufinden:
[mm]y=\bruch{3}{4}x[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{3}{4}(-\bruch{16}{7})
[/mm]
[mm] \gdw y=-\bruch{12}{7}
[/mm]
Fertig!
Ob es sich nun um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt, ermittelst Du über die Definitheit der Hessematrix.
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