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Forum "Integralrechnung" - kniffelige Integrale
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kniffelige Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 So 20.04.2008
Autor: Pedda

Aufgabe
Finde die Stammfunktion der Integrale

[mm] \bruch{\wurzel(x+1)}{\wurzel(x-1)} [/mm]
[mm] \bruch{1}{x*\wurzel{a^2+x^2} [/mm]

Hallo,

ich soll die oben angegebenen Integrale lösen. Ich probiere schon die ganze Zeit geeignete Substitutionen zu finden, aber verrenne mich immer wieder. Bei dem ersten Integral habe ich es auch mal mit Erweitern versucht, bin aber nicht auf sinnvolle Ergebnisse gekommen. Bei dem zweiten suche ich nach einem Hinweis auf arsinh, finde aber noch nicht den richtigen Ansatzpunkt. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!

tschö, Peter

        
Bezug
kniffelige Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 So 20.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Pedda,

> Finde die Stammfunktion der Integrale
>  
> [mm]\bruch{\wurzel(x+1)}{\wurzel(x-1)}[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{x*\wurzel{a^2+x^2}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich soll die oben angegebenen Integrale lösen. Ich probiere
> schon die ganze Zeit geeignete Substitutionen zu finden,
> aber verrenne mich immer wieder. Bei dem ersten Integral
> habe ich es auch mal mit Erweitern versucht, bin aber nicht
> auf sinnvolle Ergebnisse gekommen. Bei dem zweiten suche
> ich nach einem Hinweis auf arsinh, finde aber noch nicht
> den richtigen Ansatzpunkt. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr
> mir helfen könntet!

Beim ersten Integral wende die Substitution [mm]x=z^{2}-1[/mm] an.

Forme das zweite Integral geeignet um.

>  
> tschö, Peter

Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
kniffelige Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 So 20.04.2008
Autor: Blutorange

So klappt das auch:
[mm] \bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} [/mm]
Substituiere mal [mm] z=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}. [/mm]
Bilde die erste Ableitung davon, löse nach dx auf und ersetze bei deinem Integral dann das dx durch das Ergebnis. Bevor du jetzt den Bruchterm aber mit z ersetzt, vereinfach das ganze erstmal und du erhälst [mm] \integral{-x^2+1dz}. [/mm] Löse dann [mm] z=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} [/mm] nach x auf und ersetze das x. Du erhälst eine gebrochen rationale Funktion, deren Nenner nur reele Nullstellen hast, du kannst Partialbruchzerlegung anwenden.

Das zweite klappt mit [mm] z=tan^{-1}(\frac{x}{a}). [/mm] Wie oben erstmal das dx ersetzen, vereinfachen und dann x ersetzen. Man erhälst das einfache Integral [mm] a^{-1}\integral{\frac{1}{sin(z)}dz}=a^{-1}\integral{csc(x)dx} [/mm] erhalten, wenn du alles richtig gemacht hast. Dann das lösen, rücksubstituieren, fertig.

Bezug
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