kleinster Teilraum-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus 373) der die Polynome [mm] 2x^2 [/mm] +x − 1, [mm] 3x^2 [/mm] − x + 2 und [mm] 5x^2 [/mm] − 5x + 8 enthält. |
hey,
ich habe leider absolut keine Ahnung, wie ich dieses Beispiel angehen/lösen soll - kann mir da vielleicht jemand helfen ?!
bitte danke ! lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/kleinster-Teilraum-eines-Vektorraumes-bestimmen
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> Bestimmen Sie den kleinsten Teilraum des Vektorraumes aus
> 373) der die Polynome [mm]2x^2[/mm] +x − 1, [mm]3x^2[/mm] − x + 2 und
> [mm]5x^2[/mm] − 5x + 8 enthält.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es geht also um den Vektorraum, der von den drei Vektoren [mm] v_1:=[/mm] [mm]2x^2[/mm] +x − [mm] 1,v_2:=[/mm] [mm]3x^2[/mm] − x + 2 und [mm] V_3:=[/mm] [mm]5x^2[/mm] − 5x + 8 erzeugt wird. (Erzeugnis, Lineare Hülle, Span)
Was ist in diesem raum drin?
"Bestimmen Sie" bedeutet, daß Du eine Basis des Erzeugnisses von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sagen sollst.
Ein Erzeugendensystem bilden die drei Vektoren ja sowieso.
Stelle nun fest, ob sie linear unabhängig sind. Wenn ja, hast Du Deine Basis gefunden.
Wenn nein, schau, ob Du zwei linear unabhängige Vektoren im Erzeugendensystem findest. Wenn ja, dann ist das Deine Basis.
Wenn nein, besteht die Basis nur aus einem Element, sind die drei vektoren also Vielfache voneinander. Daß das aber nicht der Fall ist, sieht man sofort.
(Falls sie bereits dran waren, könntest Du auch den Weg über die Koordinatenvektoren wählen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
ok, danke.
Ich habe die Polynome also mal so aufgeschrieben:
[mm] a*(2x^2+x-1) [/mm] + [mm] b*(3x^2-x+2) [/mm] + [mm] c*(5x^2-5x+8) [/mm] = 0
dann umgeformt:
[mm] x^2*(2a+3b+5c) [/mm] + x*(a-b-5c) + (-a+2b+8c) = 0
daraus habe ich dann das Gleichungssytem gebildet:
2a+3b+5c=0
a-b-5c=0
-a+2b+8c
mit der Lösung a=2, b=-3, c=1
-> daraus folgt dann, dass die Polynome nicht lin. unabh. sind, oder ?
D.h. es gibt nur zwei Erzeugende oder ? Aber wie finde ich die ? *confused*
bitte danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok, danke.
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> Ich habe die Polynome also mal so aufgeschrieben:
> [mm]a*(2x^2+x-1)[/mm] + [mm]b*(3x^2-x+2)[/mm] + [mm]c*(5x^2-5x+8)[/mm] = 0
>
> dann umgeformt:
> [mm]x^2*(2a+3b+5c)[/mm] + x*(a-b-5c) + (-a+2b+8c) = 0
>
> daraus habe ich dann das Gleichungssytem gebildet:
> 2a+3b+5c=0
> a-b-5c=0
> -a+2b+8c
> mit der Lösung a=2, b=-3, c=1
> -> daraus folgt dann, dass die Polynome nicht lin. unabh.
> sind, oder ?
Richtig
>
> D.h. es gibt nur zwei Erzeugende oder ? Aber wie finde ich
> die ? *confused*
Wie würdest Du vorgehen, wenn Du hättest:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}
[/mm]
????????
FRED
>
> bitte danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > D.h. es gibt nur zwei Erzeugende oder ? Aber wie finde ich
> > die ? *confused*
>
>
> Wie würdest Du vorgehen, wenn Du hättest:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}[/mm]
>
> ????????
Naja die drei sind ja lin. abh. aber mir ist eben nicht klar, wie ich jetzt nur zwei Erzeugende finden soll - muss ich da immer je zwei der drei Vektoren auf lin. Unabh. überprüfen ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > > D.h. es gibt nur zwei Erzeugende oder ? Aber wie finde ich
> > > die ? *confused*
> >
> >
> > Wie würdest Du vorgehen, wenn Du hättest:
> >
> > [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > ????????
>
> Naja die drei sind ja lin. abh. aber mir ist eben nicht
> klar, wie ich jetzt nur zwei Erzeugende finden soll - muss
> ich da immer je zwei der drei Vektoren auf lin. Unabh.
> überprüfen ?
Nochmal: Wie würdest Du vorgehen, wenn Du eine Basis des von
[mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}[/mm]
aufgespannten Untervektorraums bestimmen soltest
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> Nochmal: Wie würdest Du vorgehen, wenn Du eine Basis des
> von
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}[/mm]
>
> aufgespannten Untervektorraums bestimmen soltest
>
> FRED
Eben die drei Vektoren auf lin. Unabh. untersuchen, indem ich das Gleichungssytem [mm] v_1*x [/mm] + [mm] v_2*y [/mm] + [mm] v_3*z [/mm] = 0 löse -> daraus konnte ich ja schließen, dass die 3 lin. abh. sind.
Aber es ist doch auch kein Vektor ein Vielfaches nur eines anderen sondern das Ergebnis der Lin.Komb. von 2 anderen Vektoren...
Tut mir leid aber ich habe keinen Plan, wie ich weiter vorgehen soll... :S
lg
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> > Nochmal: Wie würdest Du vorgehen, wenn Du eine Basis des
> > von
> >
> > [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}, \vektor{3 \\ -1 \\ 2}, \vektor{5 \\ -5 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > aufgespannten Untervektorraums bestimmen soltest
> >
> > FRED
>
> Eben die drei Vektoren auf lin. Unabh. untersuchen, indem
> ich das Gleichungssytem [mm]v_1*x[/mm] + [mm]v_2*y[/mm] + [mm]v_3*z[/mm] = 0 löse ->
> daraus konnte ich ja schließen, dass die 3 lin. abh.
> sind.
Hallo,
dann weißt Du, daß die drei Vektoren, die den Raum erzeugen, keine Basis sind.
Also bleibt für die Dimension des Raumes noch 2 und 1 übrig.
> Aber es ist doch auch kein Vektor ein Vielfaches nur eines
> anderen sondern das Ergebnis der Lin.Komb. von 2 anderen
> Vektoren...
Ja und? was ist daran nun schlimm?
Um zu prüfen, ob die Dimension des aufgespannten Raumes =2 ist, guckst Du nach, ob Du aus der Menge der drei Vektoren eine linear unabhängige Menge bestehed aus zwei Vektoren herauspicken kannst. Kannst Du? Juchu! Die beiden sind dann eine Basis des gesuchten Raumes.
(Daß der aufgespannte Raum nicht die Dim 1 hat, sieh man ja sofort.)
irgendwie habe ich gerade ein deja-vu: habe ich Dir das nicht heute schonmal geschrieben? Naja, vielleicht war's auch wer anders.
> Tut mir leid aber ich habe keinen Plan, wie ich weiter
"Basis" ist Dir aber klar? Minimales Erzeugendensystem usw? Sonst: nacharbeiten.
Gruß v. Angela
> vorgehen soll... :S
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > Aber es ist doch auch kein Vektor ein Vielfaches nur eines
> > anderen sondern das Ergebnis der Lin.Komb. von 2 anderen
> > Vektoren...
>
> Ja und? was ist daran nun schlimm?
>
> Um zu prüfen, ob die Dimension des aufgespannten Raumes =2
> ist, guckst Du nach, ob Du aus der Menge der drei Vektoren
> eine linear unabhängige Menge bestehed aus zwei Vektoren
> herauspicken kannst. Kannst Du? Juchu! Die beiden sind dann
> eine Basis des gesuchten Raumes.
>
> (Daß der aufgespannte Raum nicht die Dim 1 hat, sieh man
> ja sofort.)
D.h. da die dim=1 ja offensichtlich nicht möglich und dim=3 auch nicht (da die 3 Vektoren lin. abh. sind) kann ich einfach zwei der drei Vektoren als Basis nehmen (egal welche, da ja kein Vektor ein Vielfaches nur eines anderen ist), richtig ?!
>
> irgendwie habe ich gerade ein deja-vu: habe ich Dir das
> nicht heute schonmal geschrieben? Naja, vielleicht war's
> auch wer anders.
Nein ich glaube das warst schon du - meine "dämlichen" Fragen identifizieren mich anscheinend :)
> "Basis" ist Dir aber klar? Minimales Erzeugendensystem usw?
> Sonst: nacharbeiten.
Ja, grundsätzlich die Theorie schon, aber die Umsetzung in die Praxis bereitet mir etwas Schwierigkeiten... ^^
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> > > Aber es ist doch auch kein Vektor ein Vielfaches nur eines
> > > anderen sondern das Ergebnis der Lin.Komb. von 2 anderen
> > > Vektoren...
> >
> > Ja und? was ist daran nun schlimm?
> >
> > Um zu prüfen, ob die Dimension des aufgespannten Raumes =2
> > ist, guckst Du nach, ob Du aus der Menge der drei Vektoren
> > eine linear unabhängige Menge bestehed aus zwei Vektoren
> > herauspicken kannst. Kannst Du? Juchu! Die beiden sind dann
> > eine Basis des gesuchten Raumes.
> >
> > (Daß der aufgespannte Raum nicht die Dim 1 hat, sieh man
> > ja sofort.)
>
> D.h. da die dim=1 ja offensichtlich nicht möglich und
> dim=3 auch nicht (da die 3 Vektoren lin. abh. sind) kann
> ich einfach zwei der drei Vektoren als Basis nehmen (egal
> welche, da ja kein Vektor ein Vielfaches nur eines anderen
> ist), richtig ?!
Hallo,
ja, so schaut's aus.
Du solltest aber nicht vergessen, wieder schöne Polynome draus zu machen.
> >
> > irgendwie habe ich gerade ein deja-vu: habe ich Dir das
> > nicht heute schonmal geschrieben? Naja, vielleicht war's
> > auch wer anders.
> Nein ich glaube das warst schon du - meine "dämlichen"
> Fragen identifizieren mich anscheinend :)
Nenne wir die Fragen doch eher "charakteristisch".
Gruß v. Angela
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