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| Aufgabe | Aufgabe 1:
Sei G eine Gruppe und A [mm] \subseteq [/mm] G. Sei E(A) definiert durch
E(A):={ [mm] a_{1}*...*a_{n} [/mm] | n [mm] \in \IN, a_{i} \in [/mm] A oder [mm] a_{i}^{-1} \in [/mm] A }.
Zeigen Sie, dass E(A) die kleinste Untergruppe von G ist, die A enthält, d.h.
(i) E(A) [mm] \subseteq [/mm] G Untergruppe,
(ii) Ist U [mm] \subseteq [/mm] G Untergruppe mit A [mm] \subseteq [/mm] U , so folgt E(A) [mm] \subseteq [/mm] U. |
Also zu (i) würde ich anfangen mit :
Beh: E(A) [mm] \subseteq [/mm] G
zu zeigen:
[mm] 1.\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] E(A) : x*y [mm] \in [/mm] E(A)
2. das neutrale Element (hier der multiplikation, also 1) von G liegt in E(A)
3. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] E(A) [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] E(A) : y*x=x*y=e (inverse der multiplikation, also [mm] x^{-1}
[/mm]
das Assoziativitätsgesetzt gilt ja sowieso, da es eine Untergruppe ist.
Also muss ich jetzt beweisen, dass 1-3 gilt und somit ist bewiesen, dass [mm] E(A)\subseteq [/mm] G ???
Brauche umbedingt Hilfe, einen Denkanstoß... Kann ich dabei weitermachen oder ist es bis hierhin alles schon unnütz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe 1:
> Sei G eine Gruppe und A [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G. Sei E(A) definiert
> durch
> E(A):={ [mm]a_{1}*...*a_{n}[/mm] | n [mm]\in \IN, a_{i} \in[/mm] A oder
> [mm]a_{i}^{-1} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A }.
> Zeigen Sie, dass E(A) die kleinste Untergruppe von G ist,
> die A enthält, d.h.
> (i) E(A) [mm]\subseteq[/mm] G Untergruppe,
> (ii) Ist U [mm]\subseteq[/mm] G Untergruppe mit A [mm]\subseteq[/mm] U , so
> folgt E(A) [mm]\subseteq[/mm] U.
> Also zu (i) würde ich anfangen mit :
> Beh: E(A) [mm]\subseteq[/mm] G
> zu zeigen:
> [mm]1.\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] E(A) : x*y [mm]\in[/mm] E(A)
> 2. das neutrale Element (hier der multiplikation, also 1)
> von G liegt in E(A)
> 3. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] E(A) [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] E(A) : y*x=x*y=e
Du hast Dich verschrieben. Richtig:
[mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] E(A) [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] E(A) : y*x=x*y=e
> (inverse der multiplikation, also [mm]x^{-1}[/mm]
>
> das Assoziativitätsgesetzt gilt ja sowieso, da es eine
> Untergruppe ist.
>
> Also muss ich jetzt beweisen, dass 1-3 gilt und somit ist
> bewiesen, dass [mm]E(A)\subseteq[/mm] G ???
Wenn Du 1-3 gezeigt hat, hast Du bewiesen, dass E(A) eine Untergruppe von G ist
>
> Brauche umbedingt Hilfe, einen Denkanstoß... Kann ich
> dabei weitermachen oder ist es bis hierhin alles schon
> unnütz?
Nein, Du hast korrekt geschrieben, was zu tun ist.
Ich mach Dir mal 3. vor:
Sei x [mm] \in [/mm] E(A). Dann gilt: $ x= [mm] a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n} [/mm] $, wobei [mm] \in \IN, a_{i} \in [/mm] A oder [mm] a_{i}^{-1} \in [/mm] A
Setze $y:= [mm] a_n^{-1}*...*a_1^{-1}$
[/mm]
Überzeuge Dich von y [mm] \in [/mm] E(A) und xy=yx=e
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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hab jetzt noch ein bisschen rumgetüftelt und bin auf:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] E(A) : a* [mm] b^{-1} \in [/mm] E(A)
[mm] \Rightarrow a*b^{-1}*(a*b^{-1})^{-1} \in [/mm] E(A)
[mm] \Rightarrow a*b^{-1}*(b^{-1})^{-1}*a^{-1} \in [/mm] E(A)
[mm] \Rightarrow a*a^{-1}=e \in [/mm] E(A)
gekommen.
Dies beweist doch 2 und 3 , also das neutrale Element und E(A) und das inverse Element von a [mm] \in [/mm] E(A).
Reicht das als Beweis dieser zwei Eigenschaften?
Falls ja, gilt es jetzt nur noch zu beweisen, das x*y [mm] \in [/mm] E(A) .
Gilt dies nicht als logische konsewuenz, da x,y [mm] \in [/mm] E(A) ..? was gibt es da noch zu beweisen?
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> hab jetzt noch ein bisschen rumgetüftelt und bin auf:
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] E(A) : a* [mm]b^{-1} \in[/mm] E(A)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wieso gilt das denn? Das müßtest Du erstmal zeigen!
Vorsicht: Du willst doch gerade erst zeigen, daß E(A) eine Untergruppe von G ist.
Dafür darfst Du nicht "einfach so" Untergruppeneigenschaften verwenden.
Du mußt beim Zeigen der Untergruppeneigenschaft von E(A) die Definition dieser Menge bemühen.
Zeigen wolltest Du u.a. ja dies:
Für [mm] x,y\in [/mm] E(A) ist [mm] xy\in [/mm] E(A).
Beweis: seien [mm] x,y\in [/mm] E(A).
Jetzt überlege Dir mal, was es bedeutet, daß x und y dieser Menge entstammen.
Dann ist x= ... mit ...
und y= ... mit .... (Guck' in Freds Antwort. Er macht es Dir vor!)
Es ist xy= ..., und weil ??? ist [mm] xy\in [/mm] E(A).
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 Mi 10.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Ich hake mich hier mal ein da ich die selbe Aufgabe hab:
zu (1):
Sei $ [mm] x,y\in [/mm] $ E(A) mit $ [mm] x=a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}} [/mm] $ und $ [mm] y=a_{y_{1}}*...*a_{y_{i}} [/mm] $
Dann ist $ x * [mm] y=(a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}})*(a_{y_{1}}*...*a_{y_{i}}) [/mm] ( [mm] \in [/mm] E(A)) $
Da $ x*y $ eben auch nur aus verknüpften $ [mm] a_{i} [/mm] $ besteht (??)
zu (2):
Vermutlich ist das neutrale Element der Form:
$ [mm] z=a_{z_{1}}* a_{z_{2}}^{-1}*... a_{z_{i-1}}* a_{z_{i}}^{-1} [/mm] $
Sei x also wie oben dann gilt:
$ x * z= [mm] (a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}})*a_{z_{1}}* a_{z_{2}}^{-1}*... a_{z_{i-1}} [/mm] * [mm] a_{z_{i}}^{-1}
[/mm]
[mm] =(a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}})*a_{z_{1}}* a_{z_{2}}^{-1}*...
[/mm]
[mm] =(a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}})*a_{z_{1}}* a_{z_{2}}^{-1}
[/mm]
[mm] =(a_{x_{1}}*...*a_{x_{i}})= [/mm] x $
Die Elemente von [mm] a_{z} [/mm] heben sich gegenseitig auf (??)
zu (3):
Seien x,y definiert wie bei Fred
$ x= [mm] a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n} [/mm] $
$ y:= [mm] a_n^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_1^{-1} [/mm] $
Dann gilt:
$ x * y = [mm] a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n} [/mm] * [mm] a_n^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_1^{-1}
[/mm]
= [mm] a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n-1} [/mm] * [mm] a_{n-1}^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_1^{-1} [/mm] = .... = 1 $
$ [mm] y*x=a_n^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_1^{-1}* a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n}
[/mm]
= [mm] a_n^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_2^{-1}* a_{2}\cdot{}...\cdot{}a_{n}= [/mm] ... = 1 $ (??)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 10.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
zu ii)könnte ich auch noch Hilfe gebrauchen:
Sei $ U [mm] \subseteq [/mm] G [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U : x [mm] \in [/mm] G $
Sei $ A [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] U $
Außerdem gelten die Untergruppenaxiome für U.
Das sind also meine Vorraussetzungen nur wie jetzt weiter ?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 11.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Meine Frage ist wohl durchgerutscht, ich bräuchte immer noch Hilfe.
mit freundlichen Grüßen
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Hallo,
du sollst doch zeigen, dass E(A) [mm] \subseteq [/mm] U ist (unter den gegebenen Vorraussetzungen).
Nimm also x [mm] \in [/mm] E(A), dann ist x von einer bestimmten Form. Zeige, dass es dann auch in U ist. Das ist nicht so schwer.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Do 11.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Das habe ich im vorigen Post probiert. Hier dreht es sich ja um den 2. Teril der Aufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 11.11.2010 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
ich beziehemich auch auf Teil ii).
oder meinst Du Teil 2(?) von i)
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Oh Sorry, habe mich verlesen:
Ich fang einfach mal an:
Also Sei $ x [mm] \in [/mm] E(A), [mm] x=a_1\cdot...\cdot a_n [/mm] $ mit $ [mm] a_i [/mm] $ oder $ [mm] a_i^{-1} \in [/mm] A $
Ich weiss das A eine Teilmenge von U und U eine Untergruppe von G ist.
Also ist A schonmal in U enthalten. E(A) ist ja ein Erzeugnis nur aus Elementen von A. Ist somit dann nicht auch E(A) in U enthalten ?
Ich kriege es irgendwie nicht auf den Punkt
PS: Was sagst du denn zu meinem Aufgabenteil i) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Fr 12.11.2010 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
> Ich fang einfach mal an:
> Also Sei [mm]x \in E(A), x=a_1\cdot...\cdot a_n[/mm] mit [mm]a_i[/mm] oder
> [mm]a_i^{-1} \in A[/mm]
> Ich weiss das A eine Teilmenge von U und U eine Untergruppe
> von G ist.
so weit, so gut.
Also ist doch sogar [mm]a_i[/mm] oder [mm]a_i^{-1} \in U[/mm]
Da U (Unter)gruppe ist, ist aber dann [mm]a_i[/mm] für alle i [mm] \in [/mm] U.
Da U (Unter)gruppe ist, ist dann [mm] x=a_1\cdot...\cdot a_n \in [/mm] U.
qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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