kgV und ggT < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Sultan |
hallo leute
wie geht es euch mir geht es gut, aber es würde mir besser gehen wenn ich diese tailaufgabe lösen könnte
seien a,b Elemente eines HIR R mit a,b [mm] \not= [/mm] .
a und b habe isch lösen können aber c komm ich einfach nicht weiter
c) Es seien a= [mm] p_{1}...p_{n}q_{1}....q_{r} [/mm] und b = [mm] p_{1}...p_{n}q`_{1}....q`_{s}
[/mm]
Primfaktorzerlegungen von a,b derar dass die [mm] q_{i} [/mm] und q`_{j} paarweise nicht assoziert sind. Zeige dass dann
kgV(a,b)= [mm] p_{1}...p_{n}q_{1}....q_{r}q`_{1}....q`_{s} [/mm] und ggT(a,b) = [mm] p_{1}...p_{n}
[/mm]
danke im Vorraus
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> c) Es seien a= [mm]p_{1}...p_{n}q_{1}....q_{r}[/mm] und b =
> [mm]p_{1}...p_{n}q'_{1}....q'_{s}[/mm]
> Primfaktorzerlegungen von a,b derar dass die [mm]q_{i}[/mm] und
> q'_{j} paarweise nicht assoziert sind. Zeige dass dann
> kgV(a,b)= [mm]p_{1}...p_{n}q_{1}....q_{r}q'_{1}....q'_{s}[/mm] und
> ggT(a,b) = [mm]p_{1}...p_{n}[/mm]
Das ist doch an sich trivial. Weiss nicht wie man ein klaren Zusammenhang zeigen soll. Das kgV(a,b) ist das kleinste gemeinsame Vielfache, muss also jeden Primaktor von a, wie auch jeden Primfaktor von b als Faktor besitzen somit kgV(a,b)= [mm]p_{1}...p_{n}q_{1}....q_{r}q'_{1}....q'_{s}[/mm] (wobei [mm] q_{i} \not=q'_{j} \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r; 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] s)
. Und der ggT(a,b) muss aus jenen Faktoren bestehen, die in a als auch in b enthalten sind also ggT(a,b) = [mm]p_{1}...p_{n}[/mm].
Versteh nicht, was man da zeigen soll. Waere vielleicht interessant, wie ihr in der Vorlesung/Unterricht das kgV(a,b) und den ggT(a,b) definiert habt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Sultan |
hi danke für deine bemühungen
unsere definition für ggT ist:
Sei R ein intring und a,b [mm] \in [/mm] R a,b [mm] \not=0
[/mm]
Ein Element d [mm] \in [/mm] R nennt man ggT von a,b wenn
a) d | a und d|b
b) ist c|a und c|b, dann c|d
für kgv seien R intring a,b [mm] \in [/mm] R [mm] a,b\not=0. [/mm] ein element [mm] k\in [/mm] R nennt man kgV von a,b wenn gilt
a) a |k und b |k
b) ist l [mm] \in [/mm] R und a |l und b |l dann gilt k |l
danke nochmals
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sultan!
Naja, und jetzt?
Es sei [mm] $d:=p_1\cdot \ldots \cdot p_n$.
[/mm]
Dann gilt:
$a = d [mm] \cdot q_1 \cdot \ldots \cdot q_r$
[/mm]
und
$b= d [mm] \cdot q_1' \cdot \ldots q_s'$,
[/mm]
also:
$d|a$ und $d|b$.
Es sei nun $d'$ s gewählt, dass $d'|a$ und $d'|b$. Ist $p'$ ein beliebiger Primteiler von $d'$, dann folgt
[mm] $p'|(p_1\cdot \ldots \cdot p_n \cdot q_1 \cdot \ldots \cdot q_r)$
[/mm]
und
[mm] $p'|(p_1\cdot \ldots \cdot p_n \cdot q_1' \cdot \ldots \cdot q_s')$.
[/mm]
Da $p'$ prim und die [mm] $q_i$, $q_j'$ [/mm] und [mm] $p_k$ [/mm] paarweise verschieden sind, verbleibt nur die Möglichkeit
[mm] $p'=p_k$ [/mm] für ein [mm] $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.
[/mm]
Dann gilt:
$p' [mm] \, \not\vert\, \frac{a}{p_k}$ [/mm]
und
$p' [mm] \, \not\vert \, \frac{b}{p_k}$.
[/mm]
$d'$ enthält als Primteiler also nur Primelemente aus [mm] $\{p_1,\ldots,p_n\}$ [/mm] mit Vielfachheit $1$.
Daraus kann man sich jetzt die Behauptung herleiten. Ähnlich geht man für das größte gemeinsame Vielfache vor.
Klar, du wolltest wohl eine noch "formalere" Begründung. Aber die halte ich hier für überflüssig, ehrlich gesagt.
Viele Grüße
Stefan
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