kgV und ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a,b ∈ N\ {0,1} natürliche Zahlen sowie
[mm] a=p_{1}^{k_{1}}***p_{s}^{k_{s}} [/mm] und [mm] b=q_{1}^{l_{1}}***q_{t}^{l_{t}} [/mm] ihre Primfaktorzerlegungen.
a) Geben Sie die Primfaktorzerlegungen von ggT(a,b) und kgV(a,b) in Termen dieser
Zerlegungen an. |
Hallo Leute,
1.Fall [mm] p_{s}=q_{t} [/mm] für alle s Element [mm] \IN. [/mm] Dann ist der [mm] ggt(a,b)=\produkt_{i=1}^{s}p_{i}^{min(k_{s},l_{t}}) [/mm] und [mm] kgV(a,b)=\produkt_{i=1}^{s}p_{i}^{max(k_{s},l_{t}}).
[/mm]
Wie sieht es aus wenn [mm] p_{s}\not=q_{t} [/mm] ?
mit freundlichen Grüßen Zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du nimmst für [mm] p_i,q_i [/mm] alle Primzahlen kleiner gleich [mm] max(p_i q_i
[/mm]
und [mm] k_I [/mm] aus (0,1,2.. dann hast du deine Bedingung [mm] q_i=p_i
[/mm]
oder du bildest den Schnitt der Mengen [mm] {p_i} [/mm] und [mm] {q_i}
[/mm]
und arbeitest damit.
Gruss leduart
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Danke für deine Antwort. Nur leider verstehe ich die Aussage noch nicht ganz.
Wieso folgt für [mm] p_{i},q_{i}<=max(p_{i},q_{i}) [/mm] Gleichheit ?
Gruß zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil du alle fehlenden [mm] p_i [/mm] oder [mm] q_i [/mm] durch [mm] p_i^0 [/mm] ergänzest. die k_ usw. also auch 0 sein können
z.B:
[mm] 15=2^0*3^1+5^1., 12=2^2*3^1*5^0 ggT(15,12=2^0*3^1
[/mm]
[mm] kgV=2^2*3^1*5^1
[/mm]
Gruß leduart
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