kern eines Homomorphismus ist < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Di 08.11.2005 | | Autor: | ripperrd |
Hallo, ich habe folgendes Problem: Wegen mangelnder Mathematik-Kenntnisse kann ich die folgende Aufgabe auf meinem Informatikübungsblatt nicht lösen:
beweise dass der kern eines Homomorphismus eine Kongruenz ist.
Ich weiß: ker f = f * [mm] f^{-1}
[/mm]
und ich weiß ich muss übe die Homomorphiegleichungen einen beweis führen. aber wie??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme mal an, ihr sollt zeigen, dass durch
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x-y [mm] \in [/mm] Kern(f)$
eine Äquivalenzrelation gegeben ist, die mit der Addition des Vektorraums verträglich ist.
Relexivität: Es gilt:$ f(x-x) = f(x)-f(x)=0$, also: $x [mm] \sim [/mm] x$.
Symmetrie: Gilt: $x [mm] \sim [/mm] y$, also: $f(x-y)=0$, so auch $f(y-x) = -f(x-y)=0$, also: $y [mm] \sim [/mm] x$.
Transitivität: Gelten $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$, also: $f(x-y)=0$ und $f(y-z)=0$, so auch $f(x-z) = f(x-y) + f(y-x) = 0+0=0$, also $x [mm] \sim [/mm] z$.
Weiterhin gilt für $x [mm] \sim [/mm] y$, $z [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] wegen
$f((x+z) - (y+z)) = f(x-y)=0$ auch $x+z [mm] \sim [/mm] y + z$
auch $x + z [mm] \sim [/mm] y+z$.
Liebe Grüße
Stefan
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