www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - keine Varianz
keine Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

keine Varianz: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Die Verteilung der Zufallsvariable X sei gegeben durch

[mm]P(X=\sqrt{i})=c\cdot i^{-2}, i\in\mathbb N, c=1/\sum_{i=1}^{\infty}i^{-2}=\frac{6}{\pi^2}[/mm].

Zeigen Sie, daß X einen Erwartungswert, jedoch keine Varianz besitzt.

Hallo, nochmal ich. :-)

Hier sind meine Ideen:

[mm]E(X)=\sqrt{1}\cdot \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{1^2}+\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\pi^2}\cdot\frac{1}{2^2}+...=\frac{6}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i}}{i^2}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{3/2}}[/mm]

Da die Reihe konvergiert (da der Exponent im Nenner größer als 1 ist), existiert also der Erwartungswert.

Nun zu der Varianz.

Es gilt ja [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm].

Nun ist ja [mm]E(X)^2<\infty[/mm].

Jedoch ist [mm]E(X^2)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm] und das ist ja die harmonische Reihe, die divergiert!

Also hat man (salopp gesagt):

[mm]\operatorname{Var}(X)=\infty-\text{endlicher Wert}=\infty[/mm] und deswegen hat X keine Varianz.




Ist das so korrekt, was ich aufgeschrieben habe?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet!

Liebe Grüße

mikexx
        
Bezug
keine Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mi 09.11.2011
Autor: luis52


> Die Verteilung der Zufallsvariable X sei gegeben durch
>  
> [mm]P(X=\sqrt{i})=c\cdot i^{-2}, i\in\mathbb N, c=1/\sum_{i=1}^{\infty}i^{-2}=\frac{6}{\pi^2}[/mm].
>  
> Zeigen Sie, daß X einen Erwartungswert, jedoch keine
> Varianz besitzt.
>  Hallo, nochmal ich. :-)
>  
> Hier sind meine Ideen:
>  
> [mm]E(X)=\sqrt{1}\cdot \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{1^2}+\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\pi^2}\cdot\frac{1}{2^2}+...=\frac{6}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i}}{i^2}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{3/2}}[/mm]
>  
> Da die Reihe konvergiert (da der Exponent im Nenner
> größer als 1 ist), existiert also der Erwartungswert.
>  
> Nun zu der Varianz.
>  
> Es gilt ja [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm].
>  
> Nun ist ja [mm]E(X)^2<\infty[/mm].
>  
> Jedoch ist
> [mm]E(X^2)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm] und
> das ist ja die harmonische Reihe, die divergiert!
>  
> Also hat man (salopp gesagt):
>  
> [mm]\operatorname{Var}(X)=\infty-\text{endlicher Wert}=\infty[/mm]
> und deswegen hat X keine Varianz.
>  
>
>
>
> Ist das so korrekt, was ich aufgeschrieben habe?

[ok]


vg Luis

Bezug
                
Bezug
keine Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt, wenn [mm]\operatorname{Var}(X)=\infty[/mm]?


Achso, cool, daß ich die Aufgabe richtig bewiesen habe; vielen Dank für Dein [ok].
Bezug
                        
Bezug
keine Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Mi 09.11.2011
Autor: luis52


> Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt,
> wenn [mm] $\operatorname{Var}(X)=\infty$? [/mm]
>  

Konvention. Man braucht in Anwendungen die Voraussetzung [mm]\operatorname{Var}(X)<\infty[/mm], z.B. beim Zentralen Grenzwertsatz oder bei der Standardisierung von $X_$.

vg Luis
Bezug
                                
Bezug
keine Varianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Okay.

Darf ich hier noch eine zweite Frage (ähnlich wie die obige) stellen oder soll ich einen neuen Thread dafür öffnen?
Bezug
                                        
Bezug
keine Varianz: bitte neuer Thread
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mi 09.11.2011
Autor: Loddar

Hallo mikexx!


Bitte eröffne für eine neue / eigenständige Frage einen neuen Thread - danke.


Gruß
Loddar

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]