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Hallo,
ist es richtig dass ich keine Determinanten/Inverse habe wenn 2 Spalten (bei Determinanten)/Zeilen gleich oder Linearkombinationen sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ist es richtig dass ich keine Determinanten/Inverse habe
> wenn 2 Spalten (bei Determinanten)/Zeilen gleich oder
> Linearkombinationen sind?
nein, so, wie Du es formulierst, nicht.
Erstens sind Determinanten für quadratische Matrizen definiert, also $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrizen.
Zweitens, und das ist bei Dir auch nur halb richtig:
Wenn Du nun eine $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix derart hast, dass sich eine Spalte als Linearkombinationen der anderen Spalten darstellen läßt (was insbesondere der Fall ist, wenn zwei Spalten schon gleich sind), dann hat die zugehörige Determinante den Wert [mm] $0\,$ [/mm] (die Determinante existiert also).
Eine analoge Aussage gilt, wenn man oben das Wort "Spalte(n)" durch "Zeile(n)" ersetzt.
Und eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre zugehörige Determinante nicht den Wert [mm] $\,0$ [/mm] hat.
Also:
$n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen haben immer Determinanten, aber die Matrizen sind dann und nur dann invertierbar, wenn die Determinante nicht verschwindet.
Bspe.:
[mm] $$A:=\pmat{1 & -1\\0 &1} \Rightarrow \det(A)=1*1-0*(-1)=1 \not=0 \Rightarrow A^{-1} \text{ existiert}\,.$$
[/mm]
[mm] $$B:=\pmat{1 & -2\\-2 &4} \Rightarrow \det(B)=1*4-(-2)*(-2)=0 \Rightarrow B^{-1} \text{ existiert nicht}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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