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| Aufgabe | Sei V ein endl.dim. reeller VR mit kanonischem Skalarprodukt < , >.
Sei f: V [mm] \to \IR [/mm] eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie:
Es gibt ein eindeutig bestimmtes w [mm] \in [/mm] V, so dass für alle v [mm] \in [/mm] V gilt:
f(v) = <v,w> |
Also ich vermute, dass dieses w ein Vektor sein muss, der nur aus 1 besteht. Dann würde f(v) doch jeden Vektor v auf sich selbst abbilden. Und das wäre doch eine lineare Abbildung?
Kann mir jemand sagen ob ich Recht habe und bzw. oder mir eventuell weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo mathenullhoch2
Ein Vektor aus V kann nicht die Zahl 1 sein, es sei denn, [mm] V=\IR.
[/mm]
Ihr habt doch sicher das Skalarprodukt als bilineare Abbildung kennengelernt.
Wenn du jetzt einen festen Vektor w aus V nimmst, und jeden anderen Vektor aus V damit skalar mult. hast du eine Abbildung von V nach [mm] \IR
[/mm]
Du musst die Aufgaben genauer lesen, du hast die Abbildung V nach V, die die Identität ist geschildert. natürlich ist die linear, aber so unglaublich langweilig und hier nicht gefragt. und wie wolltest du <1,v> bilden?
Jetzt noch ein Hinweis auf den Lösungsweg. du kannst nicht alle Vektoren behandeln. also betrachte erstmal die Abbildung der Basisvektoren und dann die Vors. linear und dann die Eigenschaft vom Skalarprodukt.
> Sei V ein endl.dim. reeller VR mit kanonischem
> Skalarprodukt < , >.
> Sei f: V [mm]\to \IR[/mm] eine lineare Abbildung.
> Zeigen Sie:
> Es gibt ein eindeutig bestimmtes w [mm]\in[/mm] V, so dass für alle
> v [mm]\in[/mm] V gilt:
> f(v) = <v,w>
> Also ich vermute, dass dieses w ein Vektor sein muss, der
> nur aus 1 besteht. Dann würde f(v) doch jeden Vektor v auf
> sich selbst abbilden.Und das wäre doch eine lineare
> Abbildung?
Aber keine nach [mm] \IR, [/mm] wenn sie das täte!
Ein Skalarprodukt bildet einen Vektor auf eine ZAHL, nicht auf einen Vektor ab!
Gruss leduart
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Soll es nun zu jedem v aus V ein eindeutig bestimmtes w aus V geben?
Oder soll es für alle v aus V ein eindeutig bestimmtes w aus V geben?
Und kann mir jemand einen Tipp geben wie dieses w aussehen könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 12.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Soll es nun zu jedem v aus V ein eindeutig bestimmtes w aus
> V geben?
NEIN
> Oder soll es für alle v aus V ein eindeutig bestimmtes w
> aus V geben?
Ja, aber zu jeder linearen Abbildung natürlich ein anderes.!
> Und kann mir jemand einen Tipp geben wie dieses w aussehen
> könnte?
Das kann man nicht so explizit angeben! aber wenn du die Abbildun f auf drei lin. unabh. Vektoren kennst, kennst du sie ja!
nimm v1,v2,v3 lin unabh. (z.Bsp: die Standardbasis) dann ist f festgelegt mit f(v1)=r1, f(v2)=r2, f(v3)=r3
jetzt suchst du w so, dass <w,v1>=r1 usw. Mit der Standardbasis als vi solltest du dann w aus r1,r2,r3 sogar explizit darstellen können.
Gruss leduart
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