kanonischer Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 19.10.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich arbeite gerade die Homomorphiesätze durch, weiß allerdings nicht was ein "kanonischer Isomorphismus" genau bedeutet und habe leider keine Definition gefunden. Kann mir jemand helfen?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Ein kanonischer Isomorphismus ist mathematisch nichts weiter als ein Isomorphismus.
Das Wort kanonisch ist eines der wenigen Wörter die in der Mathematik zwar ständig benutzt werden, aber keine streng definierte Bedeutung haben. Ich würde es so umschreiben: etwas ist kanonisch, wenn es auf besonders einfache/naheliegende Weise definiert ist, man insbesondere keine weiteren Wahlen (wie z.B. die Wahl einer Basis in einem Vektorraum) machen muss.
Wenn wir zum Beispiel einen endlich-dimensionalen reellen Vektorraum V haben, dann sagt man meist:
1) Es gibt keinen kanonischen Isomorphismus von $V$ nach [mm] $\IR^n$, [/mm] denn ein solcher würde die Wahl einer ausgezeichneten Basis in $V$ verlangen, was irgendwie willkürlich ist.
2) Ist V dagegen von Haus aus mit irgendeiner Basis [mm] $v_1,....,v_n$ [/mm] ausgestattet, dann ist V kanonisch isomorph zum [mm] $\IR^n$ [/mm] durch den Isomorphismus [mm] $$\Phi:V\ni\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i\mapsto(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\IR^n$$
[/mm]
3) Zu jeder Basis [mm] v_1,...,v_n [/mm] hat man die kanonische Basis [mm] v_1^\star,...,v_n^\star$ [/mm] im Dualraum [mm] $V^\star$ [/mm] definiert durch die Eigenschaft [mm] $v_i^\star(v_j)=\delta_{ij}$.
[/mm]
Du siehst, was nun kanonisch ist und was nicht, ist letztlich irgendwie auch Geschmackssache. Mit der Zeit kriegst du halt ein Gefühl dafür.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 19.10.2009 | | Autor: | moerni |
vielen Dank für die rasche Antwort!
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