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| Aufgabe | Die Ebene T durch A(4/41/-6) ,B(0/16/6) und C(0/0/14) berührt eine KUgel K um M(1/2/3)
a) Berechne den Kugelradius und den Berührpunkt
b)Stelle eine Gleichung der Ebene E auf die durch A und B geht und die Kugel halbiert
c) Stelle eine Gleichung der Ebene T2 auf, die durch A und B geht und die Kugel ebenfalls berührt. |
zu a)
ich hab erstmal E aufgestellt in Normalenform E: [mm] \vec{x}=(\vec{x}- \vektor{4\\41\\-6}) *\vektor{-8\\32\\64}
[/mm]
so un habe ich eine Gerade g aufgestellt mit OM als stützvektor und [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene als Richtungsvektor
g: [mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+ \alpha *\vektor{-8\\32\\64}
[/mm]
nun g in E eingesetzt bekomme ich für [mm] \alpha [/mm] =1/8 dies in g eingesetzt bekomme ich B = (-1/8/24)
und der die Länge des Vrbindungsvektors [mm] \vec{MB} [/mm] müsste eigendlich den Radius ergeben...ich bekomme raus 21,9 ist das richtig??
[mm] |\vektor{-1-1\\8-2\\24-3}|= [/mm] 21.9
und für b) muss ich ja eigendlich nur [mm] \vec{m} [/mm] als stützvektor wählen und den normalen vektor aus [mm] \vec{ma} [/mm] und [mm] \vec{mb}
[/mm]
also E: [mm] \vec{x}= (x-\vektor{1\\2\\3})*\vec{n}
[/mm]
und [mm] \vec{n}= \vektor{243\\0\\81} [/mm] wenn man das vektorprodukt verwendet habe ich recht??
danke für antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 22.10.2009 | | Autor: | weduwe |
> Die Ebene T durch A(4/41/-6) ,B(0/16/6) und C(0/0/14)
> berührt eine KUgel K um M(1/2/3)
> a) Berechne den Kugelradius und den Berührpunkt
> b)Stelle eine Gleichung der Ebene E auf die durch A und B
> geht und die Kugel halbiert
> c) Stelle eine Gleichung der Ebene T2 auf, die durch A und
> B geht und die Kugel ebenfalls berührt.
> zu a)
> ich hab erstmal E aufgestellt in Normalenform E:
> [mm]\vec{x}=(\vec{x}- \vektor{4\\41\\-6}) *\vektor{-8\\32\\64}[/mm]
>
> so un habe ich eine Gerade g aufgestellt mit OM als
> stützvektor und [mm]\vec{n}[/mm] der Ebene als Richtungsvektor
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+ \alpha *\vektor{-8\\32\\64}[/mm]
>
> nun g in E eingesetzt bekomme ich für [mm]\alpha[/mm] =1/8 dies in
> g eingesetzt bekomme ich B = (-1/8/24)
> und der die Länge des Vrbindungsvektors [mm]\vec{MB}[/mm] müsste
> eigendlich den Radius ergeben...ich bekomme raus 21,9 ist
> das richtig??
> [mm]|\vektor{-1-1\\8-2\\24-3}|=[/mm] 21.9
>
> und für b) muss ich ja eigendlich nur [mm]\vec{m}[/mm] als
> stützvektor wählen und den normalen vektor aus [mm]\vec{ma}[/mm]
> und [mm]\vec{mb}[/mm]
> also E: [mm]\vec{x}= (x-\vektor{1\\2\\3})*\vec{n}[/mm]
> und
> [mm]\vec{n}= \vektor{243\\0\\81}[/mm] wenn man das vektorprodukt
> verwendet habe ich recht??
> danke für antworten
>
die ebene stimmt, einfacher wird es, wenn du ein bißerl kürzt:
[mm]E: -x+4y+8z = 112[/mm]
den radius bestimmst du am einfachsten mit der HNF
[mm]r=|\frac{-1+8+24-112}{9}|=9[/mm]
b) ist richtig, auch hier hilft kürzen 
[mm] \vec{n}=\vektor{3\\0\\1}
[/mm]
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| Aufgabe | danke und wie berechne ich aufgabenteil c?
ich habe folgendes gemacht:
ich habe erstmal eine gerade mit A und B aufgestellt
und diese in eine Ebene eingesetzt mit M und dem Richtungsvektor von der geraden MIT A und B um den Parameter a zu bestimmen und diesen in die Gerade eingesetzt um den Schnittpunkt von g und E also den Berührpiunkt zu bestimmen richtig gedacht? |
g: [mm] \vektor{4 \\ 41\\-6}+a* \vektor{-4 \\ -25\\12} [/mm] der richtungsvektor ist ja der Verbindungsvektor vonAB. und das [mm] ist\vektor{-4 \\ -25\\12}
[/mm]
so und E : [mm] 0=(\vec{x}- \vektor{1\\ 2\\3})* \vektor{-4 \\ -25\\12} [/mm]
nun setze ich g in E ein und bekomme für a =1.395 hmm das ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein....oder doch? setze ich nun a in g bekomme ich ür den Berührpunkt : B(-1,58/6.125/-10,74) kann das stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Fr 23.10.2009 | | Autor: | weduwe |
mir ist nicht recht klar was du da wozu machst.
die gleichung der tangentialebene im punkt B an die kugel K(M,r) lautet:
[mm] (\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=r^2
[/mm]
mit [mm] \vec{b}-\vec{m}=\vec{r} [/mm] und damit [mm] \vec{r}^2=r^2
[/mm]
hast du 3 gleichungen für die 3 komponenten des vektors [mm] \vec{r}, [/mm] woraus du dann die koordinaten des/der berührpunkte/s berechnen kannst
[mm] B_1(0/6/11) [/mm] und [mm] B_2(-3/6/10) [/mm] bekomme ich
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