ist Matrix diagonalisierbar? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Diagonalisieren Sie die reelle Matrix A oder zeigen Sie, dass sie nicht diagonalisierbar ist. Finden Sie ggf. eine invertierbare Matrix T derart, dass [mm] T^{-1}AT [/mm] eine
Diagonalmatrix ist, und geben Sie diese Diagonalmatrix an.
a) [mm] \pmat{ 3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 }
[/mm]
Mögliche Vorgehensweise: Berechnen Sie das charakteristische Polynom, so finden Sie alle Eigenwerte. Mittels Gauß-Elimination berechnen Sie dann eine Basis jedes Eigenraums. |
Mir ist das noch nicht klar wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Ich hab erst mal das gemacht was da steht: EW + Basen berechnet:
A = [mm] \pmat{ 3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 }
[/mm]
M = (A- [mm] \lambda*E) [/mm] = [mm] \pmat{ 3-\lambda & -1 & -3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 2 & -1 & -2-\lambda }
[/mm]
[mm] \vmat{ 3-\lambda & -1 & -3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 2 & -1 & -2-\lambda } [/mm] = [mm] (3-\lambda)(1-\lambda)(-2-\lambda)+6(1-\lambda) \Rightarrow \lambda_{1}=1
[/mm]
0= [mm] (3-\lambda)(-2-\lambda)+6 [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda \Rightarrow \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=\lambda_{1}=1
[/mm]
Die EW sind also [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=0, (\lambda_{3}=\lambda_{1}=1)
[/mm]
So, hier würde ich erst mal einen gedanklichen Schnitt machen: ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass wenn 2 EW gleich sind (sprich es also weniger als n EW gibt) die Matrix schon nicht diagonalisierbar ist (wobei A [mm] \in M_{n}(k)). [/mm] Das würde an der Stelle bedeuten dass A nicht diagonalisierbar ist.
Ich kann mich hier jetzt aber auch total vertan haben und völligen Quatsch geschrieben haben (was ich bei mir immer als gegeben ansehen muss  ).
Ich mach auf jeden Fall weiter:
[mm] M_{0}= [/mm] A = [mm] \pmat{ 3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 } \to \pmat{ 3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \bruch{-1}{3} & 0 } \to \pmat{ 3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
[mm] E_{0} [/mm] = [mm] s\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, s\in \IR
[/mm]
[mm] B_{0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
M{1} = [mm] \pmat{ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -3 } \to \pmat{ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
[mm] E_{1} [/mm] = [mm] s\vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ -3 \\ 1}, [/mm] s,t [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] B_{1}= (\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ -3 \\ 1})
[/mm]
Jup, das war's auch schon, jetzt ist mir nicht klar was ich mit den Werten machen soll.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Sa 20.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] ist Dir ein Fehler unterlaufen.
[mm] E_0=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die anderen Eigenvektoren sind richtig berechnet und auch linear unabhängig. Wenn C die Matrix ist, die aus den Eigenvektoren gebildet ist, jede Spalte entspricht einem Eigenvektor, dann gilt
[mm] C^{-1}AC=\Lambda
[/mm]
[mm] \Lambda=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ist die Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen hat.
mfg ullim
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okay, danke für die antwort. aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.
kannst du schritt für schritt deine Matrizen posten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 20.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast ja folgende Eigenvektoren ausgerechnet.
[mm] E_0=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] E_1=\vektor{1 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
[mm] E_2=\vektor{0 \\ -3 \\ 1 }
[/mm]
also lautet die Matrix C
[mm] C=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
C ist invertierbar und zwar gilt
[mm] C^{-1}=\pmat{ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 }
[/mm]
Damit gilt dann [mm] C^{-1}AC=\Lambda,
[/mm]
[mm] \Lambda [/mm] wie vorher, eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale, und damit ist die Matrix diagonalisierbar. Sollte man aber nochmal nachrechnen.
mfg ullim
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nun gut, die Matrizen habe ich auch, aber bei mir kam was anderes raus:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ -3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = D
habe es 2 mal durchgerechnet, kann aber den Fehler nicht erkennen.
aber mir ist der Zusammenhang jetzt auf jeden Fall klar,
habe hier auch gleich noch eine Aufgabe gerechnet:
b) B = [mm] \pmat{ -3 & -2 & 3 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -2 & 3 }
[/mm]
M = (B - [mm] \lambda*E)
[/mm]
detM = [mm] (-3-\lambda)(2-\lambda)(-\lambda)-3\lambda(2-\lambda)
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=2
[/mm]
und [mm] B_{-3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
da aber laut Def. des EV gilt: EV [mm] \not= [/mm] Nullvektor ist das keine Basis und damit ist B auch nicht diagonalisierbar
c) C = [mm] \pmat{ 1 & 4 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
mal abgekürzt:
[mm] \lambda_{1}=1, B_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=3, B_{3}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-1, B_{-1}=\vektor{16 \\ -7 \\ 4}
[/mm]
T= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 16 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
[mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -2 & -7,5 \\ 0 & 1 & -7/4 \\ 0 & 0 & 1/4 }
[/mm]
D ist dann [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
könnt ihr zu b) und c) noch euer feedback geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 20.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> nun gut, die Matrizen habe ich auch, aber bei mir kam was
> anderes raus:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ -3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -2 }*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = D
Das kommt bei mir auch raus.
D(1,1)=0 (1. Eigenwert)
D(2,2)=1 (2. Eigenwert)
D(3,3)=1 (3. Eigenwert)
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 20.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
okay, danke für deine hilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Sa 20.01.2007 | | Autor: | fisch000 |
[mm] \pmat{ -3 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 }
[/mm]
Könnte mir bitte jemand erklären wie man auf diese matrix kommt. A kann es ja eigentlich nicht sein weil hier zum Teil andere Werte stehen
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sorry, da hab ich mich vertippt, sollte A sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Sa 20.01.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für deine schnelle Antwort. Und ich hab mich die ganze Zeit gefragt wie man auf die Werte kommt.
Mfg fisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 21.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
könnt ihr bei den beiden anderen Aufgaben mal drübergucken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 25.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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