isomorphe Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 So 06.11.2011 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Welche der folgenden Gruppen sind zueinander isomorph? (Kurz begründen!)
i)[mm]\IQ_8:= \left\{ \pm E, \pm A, \pm B, \pm C \right\}, mit A=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i
\end{pmatrix},
B= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix},
C= \begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix},
E = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
ii)[mm]
\IG\ = \left\langle D,S \right\rangle, D =\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
S = \begin{pmatrix}
o & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
(Jede Matrix aus G permutiert Vektoren [mm] (v_1,...,v_4),[/mm] [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= -v_3,
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -v_4;[/mm]
Damit wird eine Abb. von G in die symm. Gruppe [mm] S_4 [/mm] definiert: [mm] \varphi : G \rightarrow S_4, M \rightarrow \sigma_M [/mm], wobei [mm] \sigma_M [/mm] durch [mm] Mv_i = v_{\sigma M(i)}[/mm] festgelegt ist.
iii) [mm] (\IZ_{16}^\*, ^.)[/mm]
iv) [mm] \left\langle \begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \right\rangle , wobei \left\langle A,B \right\rangle := \left\{ M_1...M_k mit M_i \in\ {A^\pm 1, B^\pm 1, k\in\IN \right\}
[/mm]
v) [mm] (\IZ_4 [/mm] x [mm] \IZ_2, +) [/mm]
vi) [mm] \left\langle \begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{pmatrix} \right\rangle [/mm]
vii) [mm] (\IZ_4 [/mm] x [mm] \IZ_3, +) [/mm]
viii) [mm] \left\langle \bruch{1}{2} \begin{pmatrix}
\wurzel{2} & -\wurzel{2} \\
\wurzel{2} & \wurzel{2}
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right\rangle [/mm]
ix) [mm] {E_{12} (\IC) = \left\{ z\in \IC| z^{12} = 1 \right\} [/mm]
x) die Diedergruppe [mm] D_{16} [/mm] |
Hallo liebe Helfer,
puh, was für eine Eingabearbeit!
Aus gesundheitlichen Gründen hab ich nun einiges nachzuarbeiten, u.a. diese doch sehr umfangreiche (Teil-!)Aufgabe bis Montag ;-(
Da nur nach kurzen Begründungen gefragt ist, reicht es womöglich, sich nur die Ordnungen der Elemente anzuschauen bzw. die der Gruppenordnung, womit man nur auf 'Gleichmächtigkeit' testet, die ja für eine Bijektion gegeben sein muss. Deshalb hab ich begonnen, mir die Untergruppen bzw. Elemente der Gruppen & ihre Ordnungen aufzuschreiben. Bei einigen bin ich allerdings sehr unsicher, daher viele Fragezeichen.
Gäbe es ne schnellere Variante, um zu überprüfen, ob eine bijektive Abb. zwischen zwei Gruppen ex., die homomorph ist? Das wäre genial!
Zwischenfazit:
i) [mm] ord(Q_8) [/mm] = 8, ord(E) = 1, ord(A)=ord(B)=ord(C)=4
ii) ord(G)= 2, ord(D)=4, ord(S)=1
iii) [mm] ord(\IZ_{16}^\*)=8, [/mm] mit
x 1 3 5 7 9 11 13 15
ord(x) 1 4 4 2 2 4 4 2
iv) ord(G)=5, mit UG: A, B (=B^-1), A^-1, AB (=AB^-1), A^-1B
ord(A)=ord(A^-1=ord(AB)=ord(A^-1B)=4, ord(B)=1
v) ord([mm]\IZ_4 [/mm] x [mm] \IZ_2[/mm])=8, mit
x 1 3 5 7 9 11 13 15
ord(x) 1 4 4 2 2 4 4 2
vi) ord(G)=2 ???, ord(A)=ord(B)=4
vii) ord([mm]\IZ_4 [/mm] x [mm] \IZ_3[/mm])=8, mit
x 1 3 7 9 11 13 17 19
ord(x) 1 4 4 2 2 4 4 2
viii) ord(G)=2 ???, ord(A)=8, ord(B)=2
ix) ord(E_12)=12 ???, Lagrange: es gibt UG mit ord 1,2,3,4,6,12 (da Teiler von 12) und wieviele jeweils??? Kann mir da nix vorstellen. Wie sehen die Untergruppen aus?
x) ord(D_16)=16 (oder 32?), Lagrange: es gibt UG mit ord 1,2,4,8,16 (da Teiler von 16) und wieviele jeweils??? Kann mir da nix vorstellen, außer ein 8-Eck mit Symmetrien drin. Wie sieht die Gruppe aus? Wie die Untergruppen?
Jetzt kann ich doch ausschließen, dass Gruppen mit unterschiedlicher Ordnung isomorph sind. Wie begründe ich aber, dass Gruppen mit gleicher Ordnung isomorph sind? Da müsste ich doch mit der homomorphie arbeiten, oder? z.B. bei Betrachtung von iii) und v) und vii) zueinander
Bitte Bitte schau mal jemand drüber und sag mir, ob ich gänzlich falsch liege, ob ich mir Arbeit ersparen könnte oder, oder, oder...
Danke schon mal!
PS: Die Aufgabe ist lediglich in diesem Forum- niergends sonst gepostet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 So 06.11.2011 | | Autor: | dorix |
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Also, bei endlichen Gruppen ist das immer Anfangs die beste Idee, die Mächtigkeit der Gruppen und die Ordnungen der Elemente nachzuprüfen. :)
Das Problem ist natürlich bei "blöden" Gruppen, dass man sich komplett dumm und dämlich rechnen kann. Hierfür gibt's jedoch ein paar Tricks. Z.B. sagen die Sätze von Sylow was über die Anzahl gewisser Untergruppen aus. Und der Satz von Lagrange garantiert, dass die Ordnungen der Elemente die Gruppenordnung teilen müssen...
Aber das hast du ja schon richtig erkannt! :)
Für diese Bearbeitung verwende ich den bekannten Satz: [mm] $|G|=p^3\Rightarrow [/mm] G~abelsch [mm] \vee [/mm] |Z(G)|=p$.
Fangen wir mal der Reihe nach an.
i) Die Quaternionengruppe hat Ordnung 8 und die Elemente haben die Ordnungen 1,2,4,4,4,4,4,4. Sie ist nicht abelsch (leicht nachzuprüfen), hat also ein Zentrum der Ordnung 2.
ii) Diese Gruppe hat auch Ordnung 8 und die Gruppenelemente haben Ordnungen 1,2,2,2,4,4,4,4. Dies erhält man dadurch, dass das erste Element im Erzeugnis Ordnung 4 hat, (die erzeugte UGR hat somit 2 Elemente der Ordnung 4, eins der Ordnung 2, eins der Ordnung 1), und das zweite Element vertauscht einfach die Spalten.
Also gleichmal nicht isomorph zur Quaternionengruppe. Weiterhin ist ihr Zentrum größer 3, also abelsch.
iii) Diese Gruppe hat [mm] $\varphi(16)=2^4-2^3=8$ [/mm] Elemente und ist nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Gauß zyklisch, also isomorph zur [mm] $\IZ_8$.
[/mm]
v) Diese Gruppe ist nicht zyklisch (klar) aber abelsch und die Ordnungen der Elemente der Gruppe stimmen mit denen der Gruppe ii) überein. Frage an dich: Reicht das für Isomorphie?
vii) Diese Gruppe ist zyklisch (weil 4 und 3 teilerfremd sind) und somit isomorph zur [mm] $\IZ_{12}$.
[/mm]
ix) Diese Gruppe ist auch zyklisch und hat Ordnung 12. Reicht das für Isomorphie zur Gruppe vii)?
x) Diese Gruppe hat die Ordnung 16, also mehr als alle Gruppen zuvor.
Das sind so die einfachsten der von dir genannten Gruppen. Für die übrigen kannst du mal die Gruppentafel aufstellen, da sieht man schon einiges...
Keine Angst vor viii). Die Determinante der ersten Matrix ist 1 und schon das Quadrat ergibt die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }. [/mm] Also in der vierten Potenz ergibt sie schon $-E$, somit ist deren Ordnung 8. Die andere Matrix vertauscht auch nur die Spalten der anderen Matrizen, also schonmal 16 Elemente. Ist sie aber isomorph zur Diedergruppe?
Bei der Gruppe iv) bewegen sich die Zahlen nur auf den Diagonaleinträgen. Diese Gruppe ist offensichtlich abelsch. Die erste Matrix hat Ordnung 4, die zweite vertauscht nur das Vorzeichen des linken oberen Eintrages, also 8 Elemente... Ist dort eine Isomorphie zu v) erkennbar?
Gruß, Harris
Hoffe, ich konnte dir ein paar Argumentationstechniken zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 07.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> iii) Diese Gruppe hat [mm]\varphi(16)=2^4-2^3=8[/mm] Elemente und
> ist nach dem
> Satz von Gauß
> zyklisch, also isomorph zur [mm]\IZ_8[/mm].
Moment! Der Satz von Gauss besagt, dass sie eben nicht zyklisch ist, da 16 weder von der Form $2$, $4$, [mm] $p^\alpha$ [/mm] noch $2 [mm] p^\alpha$ [/mm] ist mit $p [mm] \neq [/mm] 2$ prim.
Diese Gruppe hat uebrigens die gleichen Elementordnungen wie die Gruppe in ii).
LG Felix
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