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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 So 14.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das jeweilige Residuum an.
(a) [mm] & z^2 \sin ( \bruch{1}{z} ) [/mm]
(b) [mm] & \bruch{1- \cos(z)}{z^2} [/mm]
(c) [mm] & \bruch{z^3}{(1+z)^3} &[/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich bereite mich auf eine Nachklausur in Analysis IV und versuche mich gerade an isolieren Singularitäten. Für die ersten beiden Teilaufgaben habe ich Ergebnisse raus, aber ich bin mir absolut nicht sicher, ob das so stimmt und bei der Teilaufgabe (c) habe ich nur eine Vermutung. Vielleicht kann mir ja einer helfen und mich, falls Fehler in meinen Lösungen vorhanden sind ( was wahrscheinlich der sein wird  ) darauf hinweisen, und mir ggf. einen Tipp bei der (c) geben.
Danke schön!
So, das sind meine Lösungsvorschläge:
(a) [mm] z^2 \sin( \bruch{1}{z} ) = z^2 \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{-2n-1} \\
= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{-2n+1} \\
= \summe_{n=-\infty}^{0} \bruch{(-1)^-n}{-2n-1} z^{2n-1} \\ [/mm]
Somit hat die Funktion für mich hier eine wesentliche Singularität in 0. Und das Residuum ist 1.
(b) [mm] & \bruch{1- \cos(z)}{z^2} = \bruch{(-1) (\cos(z) -1)}{z^2} = \bruch{- \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} -1}{z^2} = - \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} z^{2n}
[/mm]
Somit hat die Funktion nach meiner Lösung eine hebbare Singularität in 0. Somit lässt sich die Funktion in [mm] f(0) = \bruch{1}{2} [/mm] fortsetzen. Das Residuum ist 0.
(c) Die Singularität ist bei -1 und ich denke, dass es sich dabei um einen Pol 3. Ordnung handelt.
Das könnte ich nur mit Hilfe des Limes - Kriteriums erklären, da der Limes gegen [mm] \infty [/mm] strebt. Ich wäre für eine ausführlichere Lösung sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Dank im vorraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 14.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und
> bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das
> jeweilige Residuum an.
>
> (a) [mm]& z^2 \sin ( \bruch{1}{z} ) [/mm] [mm]\\[/mm]
> (b) [mm]& \bruch{1- \cos(z)}{z^2} [/mm] [mm]\\[/mm]
> (c) [mm]& \bruch{z^3}{(1+z)^3} &[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich bereite mich auf eine Nachklausur in Analysis IV und
> versuche mich gerade an isolieren Singularitäten. Für die
> ersten beiden Teilaufgaben habe ich Ergebnisse raus, aber
> ich bin mir absolut nicht sicher, ob das so stimmt und bei
> der Teilaufgabe (c) habe ich nur eine Vermutung. Vielleicht
> kann mir ja einer helfen und mich, falls Fehler in meinen
> Lösungen vorhanden sind ( was wahrscheinlich der sein wird
> ) darauf hinweisen, und mir ggf. einen Tipp bei der
> (c) geben.
>
> Danke schön!
>
> So, das sind meine Lösungsvorschläge:
>
> (a) [mm]z^2 \sin( \bruch{1}{z} ) = z^2 \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{-2n-1} \\
= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{-2n+1} \\
= \summe_{n=-\infty}^{0} \bruch{(-1)^-n}{-2n-1} z^{2n-1} \\[/mm]
Fast richtig: der Exponent von z muss [mm](2n+1)[/mm] sein, denn du hast nur das Vorzeichen von n umgedreht. Das siehst du auch, wenn du vor der letzten Umformung den Term mit der höchsten Potenz von z anschaust: das ist der mit [mm]n=0[/mm], er lautet einfach [mm]z^1[/mm]. Nach deiner Umformung ist es plötzlich [mm]z^{-1}[/mm].
Richtig ist daher:
[mm]z^2 \sin( \bruch{1}{z} ) = \summe_{n=-\infty}^{0} \bruch{(-1)^{-n}}{(-2n+1)!} z^{2n+1} [/mm].
> Somit hat die Funktion für mich hier eine wesentliche
> Singularität in 0. Und das Residuum ist 1.
Wesentliche Singularität ist richtig, nur das Residuum gehört nicht zu [mm]n=0[/mm], sondern zu [mm]n=-1[/mm] und ist damit [mm]-1/6[/mm].
> (b) [mm]& \bruch{1- \cos(z)}{z^2} = \bruch{(-1) (\cos(z) -1)}{z^2} = \bruch{- \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} -1}{z^2} = - \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} z^{2n}
[/mm]
>
> Somit hat die Funktion nach meiner Lösung eine hebbare
> Singularität in 0. Somit lässt sich die Funktion in [mm]f(0) = \bruch{1}{2}[/mm]
> fortsetzen. Das Residuum ist 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (c) Die Singularität ist bei -1 und ich denke, dass es sich
> dabei um einen Pol 3. Ordnung handelt.
>
> Das könnte ich nur mit Hilfe des Limes - Kriteriums
> erklären, da der Limes gegen [mm]\infty[/mm] strebt. Ich wäre für
> eine ausführlichere Lösung sehr dankbar!
Eine Singularität [mm]z_0[/mm] einer Funktion f ist ein Pol (n-ter Ordnung), wenn es ein minimales n gibt, sodass [mm](z-z_0)^n f(z)[/mm] eine hebbare Singularität bei [mm]z_0[/mm] hat.
Daraus kannst du sofort ableiten, dass eine Funktion der Form
[mm] f(z) = \bruch{g(z)}{(z-z_0)^n} [/mm]
bei [mm]z_0[/mm] eine Pol n-ter Ordnung hat, wenn g bei [mm]z_0[/mm] keine Singularität hat und dort ungleich 0 ist. Denn [mm](z-z_0)^n f(z)[/mm] hat ja eine hebbare Singularität bei [mm]z_0[/mm].
Deine Funktion hat die gewünschten Eigenschaften, also hat sie bei [mm]z=-1[/mm] einen Pol dritter Ordnung. Das Residuum bekommst du aus
[mm]\bruch{z^3}{(1+z)^3} = \bruch{((1+z)-1)^3}{(1+z)^3} = \bruch{(1+z)^3 - 3 (1+z)^2 +3 (1+z)- 1}{(1+z)^3}[/mm]
zu -3.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 14.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Vielen viele Dank für die schnelle Antwort! Jetzt hab ich es verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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