irreduzibles polynom in Z < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 So 18.11.2007 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen $a$, für die das Polynom [mm] $f_a [/mm] = [mm] 4X^2 [/mm] + 4X + a$ in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] bzw. in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] irreduzibel ist. |
Hallo,
Ich glaube das die Aufgabe eigentlich total einfach ist, nur komm ich einfach irgendwie nicht drauf.
Ich hab erstmal die Nullstellenformel benutzt:
[mm] $x_{1/2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-16a}}{8}$
[/mm]
Ich seh damit also dass ich auf jeden Fall für $a>1$ in den komplexen Zahlen lande, $a=1$ und $a=0$ passt, dazwischen egal, da [mm] $a\in \IZ$.
[/mm]
Dann kam ich erst mal nicht weiter, hab dann so angesetzt:
[mm] $f_a=4(x-c)(x-d)= 4x^2+4(-c-d)x+4cd$.
[/mm]
Naja, jetzt weiß ich dass $ -c-d=1 $ gelten muss.
Dann hab ich mir gedacht das ist mir alles zu unmathematisch, hab im Skript geschaut, das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium gefunden, und festgestellt das mir das auch nicht weiter hilft.
Hat jemand von euch ne gute Idee?
Grüße
Cruemel
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Hallo Cruemel,
> Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen [mm]a[/mm], für die das Polynom [mm]f_a = 4X^2 + 4X + a[/mm]
> in [mm]\IZ[X][/mm] bzw. in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel ist.
> Hallo,
>
> Ich glaube das die Aufgabe eigentlich total einfach ist,
> nur komm ich einfach irgendwie nicht drauf.
>
> Ich hab erstmal die Nullstellenformel benutzt:
>
> [mm]x_{1/2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-16a}}{8}[/mm]
>
> Ich seh damit also dass ich auf jeden Fall für [mm]a>1[/mm] in den
> komplexen Zahlen lande, [mm]a=1[/mm] und [mm]a=0[/mm] passt, dazwischen egal,
> da [mm]a\in \IZ[/mm].
Vorsicht bei a=1  .
Aus der Diskriminante abhängig von a kannst Du für a<0 noch weitere a's finden, für die das Poly irreduzibel ist: Welche Reste mod 4 kann eine Quadratzahl annehmen?
Bei [mm]a \equiv 0,3 \pmod{4}[/mm] könnte es nochmal knifflig werden.
Gruß
zahlenspieler
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