irreduzible darstellungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definiere [mm] V:=\IQ e_{1} \oplus\IQ e_{2} \oplus\IQ e_{3}/\IQ(e_{1}+e_{2}+e_{3}) [/mm] .Sei [mm] \delta [/mm] die Darstellung, von der [mm] S_{3} [/mm] nach GL(V), die die Einheitsvektoren [mm] e_{1}, e_{2} [/mm] und [mm] e_{3}, [/mm] permutieren lässt.
Beh.: V ist irreduzibel. |
hallo leute,
ich komme mal wieder nicht weiter. Eigentlich müsste das ganz einfach zu zeigen sein. Ich hab es versucht, indem ich mir einen echten Teilmodul [mm] \not= [/mm] 0 von V genommen habe, also einen 1-dimensiomalen Teilmodul aber damit komme ich nicht weiter. Hat jemand ne Idee, wie man da besser heran gehen könnte?
Wäre klasse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Do 16.10.2008 | | Autor: | PeterB |
$V$ ist 2 dimensional. Falls die Darstellung reduzibel wäre, wäre sie die direkte Summe von zwei eindimensionalen Darstellungen. Also insbesondere abelsch. Das solltest du zum Widerspruch führen können.
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erstmal danke, den widerspruch bekomme ich wohl hin, aber ich seh nicht, wieso V als Summe zweier darstellungen selbst abelsch sein sollte ? wie kommt man darau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 16.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
dann wäre die darstellung äquivalent zu einer darstellung [mm] $\left( \begin{array}{c|c} K^\times & \\ \hline &K^\times \end{array} \right) \cong K^\times \times K^\times$.
[/mm]
EDIT: allgemein hat die natürliche permutationsdarstellung der symmetrischen gruppe den invarianten unterraum, der von der summe der basisvektoren aufgespannt wird, aber genau dieser wird ja hier herausgeteilt. bis zur dimension drei kann man solch eine frage nach unzerlegbarkeit auch als simultanes eigenraum-problem auffassen. ENDE EDIT
EDIT2: edit1 verbessert ENDE EDIT2
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Fr 17.10.2008 | | Autor: | ichbinsnun |
ach ja, vielen dank
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