irreduzible Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel sind und überprüfen Sie, ob sie auch in [mm] \IZ[x] [/mm] irreduzibel sind.
a) [mm] 3x^{4}-12x^{3}+6
[/mm]
b) [mm] x^{4}+200x^{3}+2000x^{2}+20000x+20
[/mm]
c) [mm] 3x^{3}+x^{2}+1
[/mm]
d) [mm] x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-6x+3 [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde 
Habe bis jetzt folgendes hierzu notiert:
a)
gem. Eisensteinkriterium:
Sei p=2:
- 2 teilt 12, 0, 6
- 2 teilt nicht die 3
- [mm] 2^{2} [/mm] teilt nicht die 6
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) irreduzibel in [mm] \IQ[x], [/mm] jedoch reduzibel über [mm] \IZ, [/mm] denn es existiert die Zerlegung: f(x) = [mm] 3(x^{4}-4x^{3}+2) [/mm] - also eine Zerlegung in zwei Nichteinheiten in [mm] \IZ[x]
[/mm]
b)
Eisensteinkriterium:
Sei p=5
- 5 teilt 200,2000,20000,20
- 5 teilt nicht die 1
- [mm] 5^{2} [/mm] teilt nicht die 20
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) irreduzibel über [mm] \IQ.
[/mm]
Nur wie kann man hier etwas bzgl. [mm] \IZ [/mm] herausfinden?
c)
Hier ist das Eisensteinkriterium ja so nicht ohne weiteres anwendbar. Wie könnte man hier vorankommen?
Bzgl. [mm] \IZ[x] [/mm] gilt: Da f(x) ein primitives Polynom ist und in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel, dann auch in [mm] \IZ[x]
[/mm]
d)
Hier ja ähnlich wie bei c). Wie könnte man denn hier bzgl. [mm] \IQ[x] [/mm] und [mm] \IZ[x] [/mm] weiterkommen?
Freue mich über Anregungen
LG,
DrRiese
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Hallo,
b) nutze deine Argumentation aus der c).
c) Reduktionskriterium
d) reduktionskriterium (ist dann aber noch ein bisschen Rechnerei) oder den Isom. auf R[X] gegeben durch [mm] $x\mapsto [/mm] x+1$ und dann Eisenstein.
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b) das Polynom ist primitiv.
c) Bitte Reduktionkriterium nochmal durchlesen. Dieses macht keine Aussagen über reduzible Polynome.
d) ist wohl richtig. Irreduzibiltät über den rationalen Zahlen impliziert Irred. über den ganzen zahlen. siehe dazu auch deine ürsprüngliche Argumentation zur c)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 12.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Keine Antwort? :-(
LG
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