irreduzibel und Einheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
Hallo zusammen,
ich habe eine (vermute ich mal) ganz einfache Frage, aber komme nicht drauf, warum das so ist. Wenn R Integritätsring ist und p ein irreduzibles Element in R, c eine Einheit in R. Warum ist dann [mm] c$\cdot$p [/mm] wieder irreduzibel? Ich hatte mir Folgendes überlegt:
Wenn p irreduzibel ist, so folgt für alle a,b [mm] \in [/mm] R mit p= [mm] a$\cdot$b, [/mm] dass a Einheit ist oder b Einheit ist.
Zu zeigen ist: Für alle d,e [mm] \in [/mm] R mit [mm] c$\cdot$p [/mm] = [mm] d$\cdot$e [/mm] muss d oder e eine Einheit sein.
Kann man jetzt irgendwie [mm] c$\cdot$p [/mm] = [mm] c$\cdot$a$\cdot$b [/mm] schreiben und damit etwas anfangen? Ich tue mich irgendwie schwer mit dem für alle (!) d,e [mm] \in [/mm] R.
Ich denke wie gesagt, dass das ganz einfach ist, aber irgendwie sehe ich es grade nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß 
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Versuche es mal mit einem Widerspruch:
Angenommen cp ist nicht irreduzibel. Was bedeutet das?
Versuche damit einen Widersprich zu erzeugen, dass dann auch p nicht irreduzibel ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
Vielen Dank dir erstmal! Irgendwie häng ich grad :D
Angenommen, cp ist nicht irreduzibel. Dann existieren a,b [mm] \in [/mm] R mit cp=ab, wobei a und b beides keine Einheiten sind (oder ist die Negation schon falsch?). Jetzt sollte ich ja einen Widerspruch zur Irreduzibilität von p erzeugen. Man könnte cp=ab umformen zu [mm] p=c^{-1}ab, [/mm] da c Einheit und somit invertierbar ist. Aber hier sehe ich dann keinen Widerspruch.
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Dort steht ja jetzt p= [mm] c^{-1}(ab)=(c^{-1}a) [/mm] b.
Hilft das weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
> Dort steht ja jetzt p= [mm]c^{-1}(ab)=(c^{-1}a)[/mm] b.
>
> Hilft das weiter?
Ah, es müsste für alle x,y [mm] \in [/mm] R gelten, dass aus p=xy folgt, dass x Einheit ist oder y Einheit ist. Aber weder [mm] c^{-1}a, [/mm] noch b sind Einheiten => Widerspruch?
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Das war der Plan.
Warum ist [mm] $c^{-1}a$ [/mm] keine Einheit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
Gute Frage, mit so Kleinigkeiten tu ich mich schon schwer, gibts doch nicht.
Angenommen, [mm] c^{-1}a [/mm] wäre eine Einheit. Dann würde ein z [mm] \in [/mm] R existieren, sodass [mm] (c^{-1}a)z [/mm] = 1. Dann wäre (da c Einheit und Assoziativität) c=az. Da die Menge der Einheiten eine (multiplikative) Untergruppe von R ist, kann aber dann az keine Einheit sein, da a irreduzibel und damit nach Definition keine Einheit ist?
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Zum Beispiel :)
Besser wäre evtl noch
[mm] a=cz^{-1} [/mm] für deine Argumentation
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
perfekt, vielen Dank dir!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Di 14.06.2016 | | Autor: | kai1992 |
Ok ja, letzte Frage zu deiner "verbesserten" Antwort: [mm] c^{-1}az [/mm] = 1 <=> a = [mm] cz^{-1}, [/mm] aber c und [mm] z^{-1} [/mm] sind jeweils Einheiten, also ist das Produkt eine Einheit, aber a = [mm] cz^{-1} [/mm] ist irreduzibel? (dazu noch eine kurze Frage: [mm] z^{-1} [/mm] ist Einheit, da ein Element, nämlich az existiert, sodass [mm] c^{-1}az [/mm] = 1 ist oder?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 16.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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