irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
wir haben als def für "irreduzibel" folgendes:
Sei [mm] p\in [/mm] R Ring, mit [mm] p\not=0 [/mm] und p ist keine Einheit in R, dann heißt p irreduzibel, falls für [mm] a,b\in [/mm] R mit p=ab stets folgt, a oder b ist Einheit in R.
Als Bemerkung haben wir folgendes festgehalten:
Sei p irreduzibel mit [mm] p\in(a) [/mm] für ein [mm] a\in [/mm] R (wobei (a):= Ra) dann gilt (p)=(a) oder (a)=R
irgendwie verstehe ich dsa nicht so genau
also warum (p)=(a) gelten könnte, dachte ich erst zu wissen und zwar wenn man [mm] p\in(a) [/mm] hat, dann kann man das acuh schreiben alsa p=ab für ein [mm] b\in [/mm] R und da p irreduzibel, ist entweder a oder b eine Einheit. Sei hier b eine Einheit, dann kann man für p=ab auch p*b^-1=a schreiben woraus man dann sieht, dass R*(p*b^-1)=Ra
aber R*(p*b^-1) ist nicht zwingend Rp oder?
warum (p)=R gilt weiß ich leider gar nicht.
kann mir da einer von euch vielleicht etwas auf die Sprünge helfen?
danke und gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Ari!
> hey leute
>
> wir haben als def für "irreduzibel" folgendes:
>
> Sei [mm]p\in[/mm] R Ring, mit [mm]p\not=0[/mm] und p ist keine Einheit in R,
> dann heißt p irreduzibel, falls für [mm]a,b\in[/mm] R mit p=ab stets
> folgt, a oder b ist Einheit in R.
Der Ring ist kommutativ, oder?
> Als Bemerkung haben wir folgendes festgehalten:
>
> Sei p irreduzibel mit [mm]p\in(a)[/mm] für ein [mm]a\in[/mm] R (wobei (a):=
> Ra) dann gilt (p)=(a) oder (a)=R
>
>
> irgendwie verstehe ich dsa nicht so genau
>
> also warum (p)=(a) gelten könnte, dachte ich erst zu wissen
> und zwar wenn man [mm]p\in(a)[/mm] hat, dann kann man das acuh
> schreiben alsa p=ab für ein [mm]b\in[/mm] R und da p irreduzibel,
> ist entweder a oder b eine Einheit.
Genau.
> Sei hier b eine
> Einheit, dann kann man für p=ab auch p*b^-1=a schreiben
> woraus man dann sieht, dass R*(p*b^-1)=Ra
>
> aber R*(p*b^-1) ist nicht zwingend Rp oder?
Doch: es ist $R (p [mm] b^{-1}) [/mm] = (R [mm] b^{-1}) [/mm] p = R p$, da fuer eine Einheit $x [mm] \in [/mm] R$ immer gilt $R x = R$ (die Abbildung `Multiplikation mit $x$' ist bijektiv).
> warum (p)=R gilt weiß ich leider gar nicht.
Das gilt nie; in dem Fall waere $p$ eine Einheit, und das ist es per Definition nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey felix danke schonmal
hab ganz vergessen, dass b^-1 ja auch ne einheit ist :D
zu dem zweiten:
da ist ein tippfehler.
das soll (a)=R heißen nicht (p)=R
hast du ja jetzt viell nochmal ne lösung? +g+
danke ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Ari,
> hab ganz vergessen, dass b^-1 ja auch ne einheit ist :D
ok :)
> zu dem zweiten:
>
> da ist ein tippfehler.
> das soll (a)=R heißen nicht (p)=R
>
> hast du ja jetzt viell nochmal ne lösung? +g+
Jap. Und zwar hattest du ja erst den Fall, dass $b$ eine Einheit ist. Jetzt hast du noch den zweiten Fall, dass $a$ eine Einheit ist. In dem Fall ist $(p) = (b)$ und $(a) = R$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 07.05.2007 | | Autor: | AriR |
ach klar stimmt danke :)
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