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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Fr 16.03.2012 | | Autor: | saendra |
Hallo! Wenn die aufgabenstellung lautet: Stelle A als produkt von elementarmatrizen dar, z.b. [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }, [/mm] dann mach ich doch erst dies:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Aber wie komme ich dann weiter...? Ich muss die Elementarmatrizen invertieren, oder? Jede einzelne?
Und dann? ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
kann es sein, dass elementarmatrizen dieses typs: [mm] \begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}
[/mm]
immer gleich ihrer inversen sind? Also [mm] \begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix} [/mm]
und dass für diesen typ immer das gilt: [mm] \begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & \lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & -\lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
Also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Sa 17.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo! Wenn die aufgabenstellung lautet: Stelle A als
> produkt von elementarmatrizen dar, z.b. [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 4 },[/mm]
> dann mach ich doch erst dies:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 4 }=\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
-2 & 1 }\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
Dann steht da doch: [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
-2 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 4 }=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
Das musst du umstellen, sodass [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
0 & 4 }=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }*\pmat{ ? & ? \\
? & ? }*\pmat{ ? & ? \\
? & ? }[/mm].
> Aber wie komme ich dann weiter...? Ich muss die
> Elementarmatrizen invertieren, oder? Jede einzelne?
Ja, das ist aber kein Problem. Wie du bereits richtig erkannt hast, lassen sich Elementarmatrizen leicht invertieren.
> Und dann?
>
> kann es sein, dass elementarmatrizen dieses typs:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & & & &\\
&0 &\cdots &1 &\\
&\vdots &1 &\vdots &\\
&1 &\cdots &0 &\\
& & & &1\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> immer gleich ihrer inversen sind? Also [mm]\begin{pmatrix} 1 & & & &\\
&0 &\cdots &1 &\\
&\vdots &1 &\vdots &\\
&1 &\cdots &0 &\\
& & & &1\\
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & & & &\\
&0 &\cdots &1 &\\
&\vdots &1 &\vdots &\\
&1 &\cdots &0 &\\
& & & &1\\
\end{pmatrix}[/mm]
ja
>
> und dass für diesen typ immer das gilt:
> [mm]\begin{pmatrix} 1& & & & \\
&1 & & \lambda \\
& &\ddots & & \\
& & & 1& \\
& & & &1 \\
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\
&1 & & -\lambda \\
& &\ddots & & \\
& & & 1& \\
& & & &1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
ja
> Also [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{4} }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 4 }[/mm]
ja, das ist der Typ:
[mm]\begin{pmatrix} 1& & & & \\
&\lambda & & \\
& &\ddots & & \\
& & & 1& \\
& & & &1 \\
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\
&\bruch{1}{\lambda} & & \\
& &\ddots & & \\
& & & 1& \\
& & & &1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Es gibt diese 3 Typen von Elementarmatrizen.
> und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
-2 & 1 }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\
2 & 1 }[/mm]
Ja.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 22.03.2012 | | Autor: | saendra |
danke 
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