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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Man beweise, dass [mm] (p^{2} [/mm] - [mm] 1)(p^{2} [/mm] - p) die Anzahl der 2 x 2 invertierbaren Matrizen über $ [mm] \IZ [/mm] p $
ist. |
Hallo Leute,
ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll :-(
Habt ihr vllt ein paar Tipps oder Lösungsvorschläge?
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
Sabine
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Hallo Sabine,
die beiden Spalten einer invertierbaren [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrix über $Z/pZ$ müssen eine Basis des Vektorraums [mm] $(Z/pZ)^2$ [/mm] sein. Damit ist einmal der Nullvektor als Spalte ausgeschlossen und die Spalten dürfen nicht Vielfache voneinander sein.
Gruß mathfunnel
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Danke erstmal für deine schnelle Antwort, aber ich habe leider noch ein paar Fragen dazu..
also dass der Nullvektor rausfällt (dann wäre die Determinante = 0 --> Matrix nicht invertierbar). Aber was soll mir das denn über den Zusammenhang von $ [mm] (p^{2} [/mm] $ - $ [mm] 1)(p^{2} [/mm] $ - p) und den 2x2 Matrizen sagen?! Sorry, aber iwie verstehe ich deine Antwort noch nicht so ganz :-(
Liebe Grüße
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Mi 05.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabine!
> Danke erstmal für deine schnelle Antwort, aber ich habe
> leider noch ein paar Fragen dazu..
> also dass der Nullvektor rausfällt (dann wäre die
> Determinante = 0 --> Matrix nicht invertierbar).
Ja.
> Aber was
> soll mir das denn über den Zusammenhang von [mm](p^{2}[/mm] -
> [mm]1)(p^{2}[/mm] - p) und den 2x2 Matrizen sagen?! Sorry, aber iwie
> verstehe ich deine Antwort noch nicht so ganz :-(
Er hat dir gesagt, wie du die Matrizen zaehlen kannst.
In der ersten Spalte hast du ziemliche Wahlfreiheit, du kannst alles ausser den Nullvektor nehmen? Und im [mm] $(\IZ/p\IZ)^2$ [/mm] gibt es doch [mm] $p^2$ [/mm] Elemente, also hast du fuer die erste Spalte [mm] $p^2 [/mm] - 1$ Moeglichkeiten.
Wieviel hast du nun fuer die zweite Spalte (nachdem du die erste fest gewaehlt hast)?
LG Felix
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